Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Metoda inductiei complete
Luni, 24 Ianuarie 2011 18:04

METODA INDUCŢIEI COMPLETE

 

Profesor Ene Steluţa

 Şcoala Miron Costin, Galaţi

 

În geometrie, ca şi în domeniul multor altor ştiinţe, primele adevă­ruri matematice au fost obţinute pe calea observaţiei şi experienţei, deci pe calea inducţiei. La început, pe bază de experienţă prin observaţii şi măsurători, vechii egipteni au stabilit aproximativ raportul dintre lungimea cercului şi diametrul lui. Când numărul adevărurilor geometrice stabilite pe această cale a devenit mai mare, s-a putut observa între ele anumite legături, iar lucrările unor mari matematicieni din antichitate, ca: Tales, Pitagora, Euclid, Arhimede etc., care au folosit diferite forme de raţionament în obţinerea rezultatelor, au transformat geometria dintr-o ştiinţă empirică în una deductivă.

 

Inducţie vine de la un cuvânt de origine latină ,,inductionis”, care tradus înseamnă ,,aducere", „introducere", „dovedirea prin exem­ple", „orientare spre". În logică, prin inducţie se înţelege o formă de raţionament în care gândirea noastră pleacă de la particular la general, sau de la cunoştinţe cu un grad de generalitate mai mic la cunoştinţe cu un grad de gene­ralitate mai mare. În procesul generalizării prin raţionamentul inductiv întâlnim două cazuri.


Primul caz este acela în care obţinem o concluzie generală des­pre o anumită mulţime de obiecte de acelaşi fel pe baza cercetărilor tuturor elementelor ei. De exemplu, în geometria plană pentru de­monstrarea teoremei - ,,măsura unui unghi înscris într-un cerc este egală cu jumătatea măsurii arcului cuprins între laturile sale” – se procedează astfel: mulţimea unghiurilor înscrise în cerc se împarte în trei clase, singurele posibile :

a) unghiuri înscrise în care o latură este diametrul cercului şi cealaltă o coardă;

b) unghiuri înscrise cu laturile situate de aceeaşi parte a centrului cercului;

c) unghiuri înscrise în care laturile sunt coarde situate de o parte şi de alta a centrului cercului.

Se demonstrează teorema pentru fiecare din aceste clase de unghiuri, se însumează rezultatele obţinute într-un singur tot, obţinându-se o concluzie generală.

Acest fel de raţionament se numeşte „inducţie completă". El nu trebuie confundat cu metoda „inducţiei complete", care se mai numeşte şi „inducţia matematică", despre care ştim că este o formă raţionamentului deductiv.

Al doilea caz de generalizare pe cale inductivă este acela în care concluzia despre o clasă de obiecte se obţine pe baza studiului care nu cuprinde toate obiectele clasei care se cercetează, acest fel de raţionament se numeşte inducţie necompletă. În matematică sunt cazuri când inducţia necompletă duce la generalizări greşite.

Raţionamentul inductiv este folosit mult de gândirea omenească pentru descoperirea legilor ştiinţifice, în elaborarea ipotezelor ştiinţifice etc.

În geometrie, inducţia o întâlnim sub două forme: ca metodă de cercetare şi ca metodă de demonstraţie.

Inducţia ca metodă de cercetare constă în faptul că prin observaţie şi experienţă se pot formula anumite ipoteze referitoare la unele proprietăţi ale figurilor geometrice, iar ca aceste proprietăţi probabile să devină adevăruri matematice trebuie demonstrate. Ca metodă de demonstraţie, inducţia este cunoscută sub numele de „metoda inducţiei matematice".

La baza raţionamentului inducţiei matematice stă axioma a cincea a şirului natural al numerelor, care constituie şi conţinutul acestei metode.

,,Dacă o proprietate oarecare, legată de numerele naturale, este adevărată pentru un număr natural a şi dacă, presupunând că ea este adevărată pentru un număr oarecare n, este adevărată şi pentru numărul n +1 atunci este adevărată pentru toate numerele naturale începând de la a”.

În demonstraţie, metoda inducţiei matematice se efectuează în două etape.

I. Etapa de verificare

Se verifică dacă propoziţia enunţată este adevărată pentru numărul natural a.

II. Etapa de demonstraţie

Aceasta constă în a arăta că, presupunând adevărată propoziţia enunţată pentru numărul n  a, atunci ea este adevărată şi pentru numărul n + 1.

Pentru obţinerea concluziilor juste este necesar ca ambele etape să fie aplicate.

Metoda inducţiei matematice poate fi aplicată atât în problemele de calcul cât şi în problemele de demonstraţie.

 

Bibliografie

Gh. A. Chiţei, Metode pentru rezolvarea problemelor de geometrie, EDP, Bucureşti, 1969

 

 

Ultima actualizare în Miercuri, 02 Februarie 2011 10:08
 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

Calitatea evaluarii la disciplina matema…

CALITATEA EVALUĂRII LA DISCIPLINA MATEMATICĂ   Profesor Păduraru Constantin Eugen Şcoala gimnazială nr. 1 Slănic Moldova, judeţul Bacău   Rezumat  In noul context educaţional, procesul instructiv - educativ trebuie pus în concordanţă cu particularităţile de...

Read more

Specializari invatamantul special

   ANEXA Nr. 12   la metodologie   SPECIALIZARI care confera dreptul de a ocupa posturi didactice/catedre in invatamantul special, fara sa mai fie necesar un stagiu atestat de pregatire teoretica si practica...

Read more

Catalogul manualelor scolare valabile in…

Catalogul manualelor şcolare valabile în învăţământul preuniversitar Disciplina matematica 2010-2011    CLASA a V-a         Titlul manualului Clasa Autorii Editura Mod de achiziţie     Matematică a V-a Petre Chirtop, Valentin Radu, Mariana Roşu, Gabriela Ross EDP MECTS   Matematică a V-a Alina Birta, Mitea Mariana EDP MECTS   Matematică a V-a George Turcitu, C-tin Basarab, T....

Read more

Ordin privind organizarea si desfasurare…

ORDIN privind organizarea şi desfăşurarea admiterii în învăţământul liceal de stat, pentru anul şcolar 2012-2013     În conformitate cu prevederile Legii Educaţiei Naţionale nr.1/2011, În conformitate cu prevederile ordinului ministrului educaţiei, cercetării, tineretului...

Read more

Tabere si excursii scolare 2014 formular…

Tabere si excursii scolare - formulare si documentare   Vezi ordinul MEN 3060/2014 privind aprobarea conditiilor de organizare a taberelor, excursiilor, exeditiilor si a altor activitati de timp liber, organizate prin scoala,...

Read more

Planificare model pentru istorie clasa a…

Planificare model pentru istorie clasa a IV-a   Incepand cu anul scolar 2011-2012, Ministerul Educatiei, Cercetarii, Tineretului si Sportului a oferit pentru prima data tuturor cadrelor didactice modele de planificari calendaristice. Iata...

Read more

Tipuri de inteligente

TIPURI DE INTELIGENŢE                                                                                            Prof. Popp Loredana                              Colegiul Tehnic “AZUR” Timişoara         Individul “vinovat” pentru identificarea tipurilor de inteligenţe este Howard Gardner, în cartea "Frames of Mind: The Theory of Multiple...

Read more

Curriculum la decizia scolii si invatare…

CURRICULUM LA DECIZIA ŞCOLII ŞI ÎNVĂŢAREA DE CALITATE LA DISCIPLINA MATEMATICĂ    Profesor Păduraru Constantin Eugen Şcoala gimnazială nr. 1 Slănic Moldova, judeţul Bacău            Rezumat          Articolul de specialitate propus urmăreşte să evidenţieze...

Read more