EVOLUȚIA GEOMETRIE DIFERENȚIALE ÎN ROMÂNIA

Prof. Popa Crina Diana

Școala Gimnazială Hășmaș, jud. Arad

Geometria diferențială este o ramură a matematicii, care îmbină geometria analitică cu analiza matematică. Geometria diferențială este știința care studiază curbele și suprafețele cu mijloacele analizei, în special prin calcul diferențial și integral, cu scopul de a calcula lungimea totală sau parțială a unei curbe precum și alți parametrii ai acesteia cum ar fi subtangenta, subnormala.

Cuvinte cheie: geometrie/geometrie diferențială, matematică, curbe, suprafețe, ecuații, calcul.

Prima lucrare de geometrie diferentiala din tara noastra este scrisa de E. Bacaloglu, care în 1859 a considerat o alta curbura a unei suprafete pe lânga curbura totala si medie.

Primul geometru român, ale cărui lucrări de geometrie diferentiala s-au impus atentiei matematicienilor din întreaga lume, este Gh. Titeica. Deoarece el a introdus si studiat o clasa de curbe si una de suprafete, care astazi îi poarta numele, el este considerat unul dintre creatorii geometriei centro-afine. Contribuții importante la dezvoltarea geometriei diferențiale proiective și afine a curbelor si a suprafetelor au adus si: acad. Al. Myller si acad. O. Mayer. Un loc proeminent între geometrii români, îl ocupa acad. G. Vrânceanu, creator al teoriei spațiilor neolonome si al unei teorii unitare relativiste, care a adus contributii importante în aproape toate ramurile geometriei diferențiale moderne.

Gheorghe Țițeica (1873-1939)

Gheorghe Ţiţeica s-a născut la Turnu-Severin, la  4 octombrie 1873. Tatăl său a fost fochist pe vapoarele dunărene şi a murit de timpuriu. Pentru meritele sale şi prin dorinţa puternică de a studia, manifestată încă din primii ani de şcoală, tânărul Ţiţeica reuşeşte să obţină o bursă; amintim că pe atunci bursele şcolare se obţineau foarte greu. El a urmat liceul din Craiova, unde s-a distins la toate obiectele. După ce a absolvit liceul, Ţiţeica vine în Bucureşti. El obţine prin concurs o bursă şi poate să urmeze astfel  matematicile. La universitate are profesori pe Spiru Haret, pe David Emanuel, pe Constantin Gogu. În 1895 Ţiţeica îşi ia licenţa şi este numit profesor la seminarul Nifon. Curând însă, el a fost numit în învăţământul superior. Pregătirea temeinică şi puterea sa de muncă îi confereau acest drept. Pe atunci nu se putea obţine o calificare pentru învăţământul superior, decât într-un centru universitar din occident. Ţiţeica izbuteşte să plece la Paris, din economiile făcute cu greu din salariul său. După un concurs, la care cu mare greutate era admis un străin, Ţiţeica rămâne să studieze la cea mai vestită universitate din lume, de atunci; el îşi reface în primul rând licenţa, fiind clasificat primul. În tot timpul cât a stat la Paris, a studiat neîncetat, împărţindu-se aproape exclusiv între cursuri şi biblioteci; el socotea o datorie să se întoarcă în ţară cât mai repede, ceea ce a şi făcut în anul 1899, imediat după susţinerea tezei. G. Ţiţeica este al cincilea român doctor în matematici al Universităţii din Paris, după Spiru Haret, David Emanuel, Const. Gogu şi N. Coculescu. Înaintea lui Ţiţeica şi alţi români publicaseră lucrări remarcabile în periodicele din occident; întorşi în ţară însă ei n-au mai continuat aceste lucrări, sub cuvânt că la noi nu sunt condiţii prielnice pentru aceasta; de obicei doctoratul era sfârşitul preocupărilor ştiinţifice, un titlu necesar pentru ocuparea unei funcţii superioare. Ţiţeica a rupt această tradiţie, continuându-şi lucrările în ţară şi ajungând unul dintre cei mai mari geometri ai lumii. La congresele internaţionale de matematici – Toronto (Canada) în 1924, Zurich (1928), Oslo (1936) – Ţiţeica a fost ales preşedinte al secţiei de geometrie. El a fost invitat la universităţile din Roma, Bruxelles şi de câteva ori la Paris, să ţină cursuri. Cărţile  sale se bucură de o deosebită preţuire şi au avut o mare circulaţie. În tratatele de specialitate, nu numai că sunt înscrise rezultatele date de Ţiţeica, (de ex. , în Finikov), dar autorii considerau o cinste ca anumite capitole să fie redactate în întregime de Ţiţeica (de ex. Fabini – Cech). Întors în ţară, Ţiţeica este numit în 1900, la Universitatea din Bucureşti, ca profesor la catedra de geometrie, la care a funcţionat aproape 40 de ani, trecând prin toate gradele: suplinitor, agregat, definitiv, deşi obiceiul era ca numirea să se facă direct cu titlul definitiv cu puţină stăruinţă; dar Ţiţeica a vrut să arate prin exemplul său personal că legea trebuie respectată. Începând din 1928 Ţiţeica a funcţionat şi la Politehnica din Bucureşti, ca profesor de analiză.

Teza lui Ţiţeica nu a fost decât un prim pas într-o carieră de maximă creativitate în cercetare. Nu cred că ar fi o afirmaţie hazardată dacă aş spune că Ţiţeica a fost primul cercetător autentic produs de Şcoala de la Bucureşti. Cel mai remarcabil lucru care se poate spune despre el e că a fost un matematician care a rămas activ toată viaţa în domeniul său de cercetare. Ar merita povestit aici felul în care a apărut acel domeniu al geometriei numit geometrie diferenţială afină. Descoperirea a avut loc la Bucureşti, în primăvara care a precedat răscoalele din 1907. După ce a devenit profesor plin la Universitate, în 1903, Gheorghe Ţiţeica a avut o perioadă de cercetare extrem de fertilă, care a durat mai bine de o decadă. A publicat o serie de articole importante între 1906 şi 1916 în cele mai prestigioase reviste ştiinţifice ale vremii, aşa cum erau Comptes Rendues şi Rendiconti. Ţiţeica avea 33 de ani atunci când prima lui lucrare despre legătura dintre curbură şi transformările liniare i-a apărut la Paris.

S-a ocupat în special cu studiul rețelelor din spațiul cu n dimenisuni, definite printr-o ecuație a lui Laplace. Creator al unor capitole din geometria diferențială proiectivă și afină, unde a introdus noi clase de suprafețe, curbe și rețele care ii poarta numele. Prin numeroasele lucrări de matematică elementară și de popularizare a științei, pe care le-a publicat de-a lungul întregii sale vieți, a contribuit la ridicarea nivelului învațământului matematic din România. Împreună cu Ion Ionescu, A. Ioachimescu și V. Cristescu, a înființat revista „Gazeta matematică”, iar cu G.G. Longinescu publicația „Natura” pentru răspândirea științelor. Cu D. Pompeiu a editat revista „Mathematica”.

Opera sa principală:

Geometria diferențială proiectivă a rețelelor, 1924

Introducere în geometria diferențială proiectivă a curbelor, 1931

Contributii importante la dezvoltarea geometriei diferentiale proiective si afine a curbelor si a suprafetelor au adus si: acad. Al. Myller si acad. O. Mayer. Un alt geometru roman, Al. Pantazi (1896-1948), format în scoala geometrului francez E.J. Cartan, a adus prin lucrarile sale contributii importante în domeniul geometriei diferentiale proiective a curbelor si a suprafetelor. Un loc proeminent între geometrii români, îl ocupa acad. G. Vrânceanu, creator al teoriei spatiilor neolonome si al unei teorii unitare relativiste, care a adus contributii importante în aproape toate ramurile geometriei diferentiale moderne.

Alexandru Myller (1879-1965)

Alexandru Myller s-a născut în București, unde a urmat școala primară, liceul (1896) și Facultatea de Științe (1900), având ca profesori pe reputații matematicieni Spiru Haret, Ermil A. Pangrati, N. Coculescu și D. Emmanuel. După un scurt stagiu ca profesor la Liceul „V. Alecsandri” din Galați, în 1902 pleacă la studii la Göttingen, unde a avut ca profesori pe celebrii matematicieni Felix Klein și David Hilbert. Preluând creator noua teorie a lui Hilbert asupra ecuațiilor integrale, Myller publică un ciclu de lucrări printre care și teza de doctorat (1906), elaborată sub îndrumarea lui Hilbert. Teza de doctorat are ca subiect: Ecuaţii diferenţiale ordinare de ordin superior în raportul lor cu ecuaţiile integrale. În această teză Al. Myller aplică metoda lui David Hilbert, pentru aflarea soluţiilor unor ecuaţii diferenţiale de ordin superior lui doi. El a arătat că în anumite condiţii iniţiale, ecuaţiile diferenţiale de ordin pereche conduc la ecuaţii integrale cu nuclee simetrice, pe când cele de ordin nepereche conduc la ecuaţii integrale cu nuclee strâmb simetrice. De altfel, Al. Myller este primul mathematician care a stabilit în această teză ecuaţiile integrale cu nuclee strâmb simetrice.

De îndată ce a scăpat însă de sub infuenţa lui Hilbert, după ce a fost numit professor de geometrie analitică la Iaşi, a avut în special preocupări de geometru, iar în acest domeniu geometria diferenţială euclidiană este aceea care l-a pasionat; aici a studiat curbele, suprafeţe şi reţele. Are foarte multe memorii de geometrie diferenţială. Ulterior în 1924, Myller a introdus noţiunea de direcţii concurente care, a dus la numeroase cercetări făcute Enea Bortolotti, Agostinelli, Sirokov. Noţiunea de concurenţă a vectorilor contravarianţi stabilită de Myller este asociată noţiunii de paralelism a vectorilor contravarianţi. Tot în geometria diferenţială euclidiană , Myller are cercetări privind suprafeţele de egală pantă , cuarticele tacnodale, suprafeţe paralele suprafeţelor ciclice, complexul lui Paivin, complexul lui Fregier, transformarea suprafeţelor prin plane tangente paralele, flexiunea suprafeţelor riglate, tensiunea medie a unei suprafeţe, suprafeţe cu aparenţă asemenea a vexinităţilor de al doilea ordin, suprafeţe spirale, suprafeţe generate de tractrice, curba fibrei care are aplicaţii în static grafică atunci când este vorba de rezistenţa bolţilor, curba bilelor lui Mariotte. S-a ocupat apoi de podare plană, cu podarele negative ale curbelor strâmte, de curbele ce admit o podară dată faţă de un pol dat formând o familie Ricatti pe o riglată desfăşurabilă, sau, în sfârşit, de curbele plane ale căror coarde ortoptice satisfac condiţii traduse prin ecuaţii funcţionale. De asemenea, Myller a studiat curbele derivate obţinute prin proiecţia succesivă mai întâi pe o axă, iar de aici pe tangentele curbei iniţiale. Myller a arătat că orice suprafaţă cu linii de curbură într+un fascicule de plane este înfăşurătoarea unei anumite familii de suprafeţe. A determinat suprafeţele cu linii meridian, adică linii cilindrice care trec printr-un punct dat al suprafeţei plane, într-un fascicule de plane. De asemenea, a determinat suprafeţele cu linii meridian geodezice. Ocupându-se de curbele şi suprafeţele paralele în sens larg, a arătat printer altele, că familiile de linii paralele în sens larg pe o suprafaţă se obţin ca familii conjugate cu familii de linii cilindrice.

Octav Mayer (1895-1966)

Octav Mayer (născut pe 4 octombrie 1895 la Mizil – decedat la 9 septembrie 1966, Iaşi) – matematician, profesor universitar, membru al Academiei Române, creator al geometriei diferenţiale centro-afine. A urmat şcoala primară în Tîrgu Neamţ, primele două clase din gimnaziu la Focşani iar următoarele două şi cele liceale la Liceul Naţional din Iaşi. În 1913 începe studiul matematicii la Universitatea “Al. I. Cuza” din Iaşi unde, în 1920, obţine doctoratul în matematică cu o comisie prezidată de Al. Myller. După o specializare la Universitatea din Torino, este numit conferenţiar de algebră (1922) la Universitatea “Al. I. Cuza” din Iaşi şi în 1925 profesor de geometrie la Universitatea din Cernăuţi. Va reveni la Universitatea din Iaşi ca profesor de geometrie diferenţială (clasică, proiectivă) şi de teoria funcţiilor complexe. A condus Catedra de Geometrie până la retragerea din activitatea didactică, în 1962. Membru titular al Academiei Române din 1937, director al filialei Iaşi 1958-1960 şi preşedinte al filialei Iaşi a Societăţii de Ştiinţe Matematice şi Fizice din România (1949-1953), a primit înalte medalii şi ordine ale ţării.

Octav Mayer are o operă bogată şi originală în domeniul geometriei diferenţiale centro-afine, inaugurată de Gh. Titeica şi de asemenea în domeniul geometriei proiective, unde a descoperit suprafeţele care sunt numite astăzi suprafeţe Mayer. S-ar putea studia opera de geometru a lui Mayer creaţia sa succesiv în geometria diferenţială euclidiană(“Sur les solutions periodiques des equations differentielles lineaires “,Bucureşti 1907;”Le parallelism au sens de M. Levi-Cevita dans un systeme de plans”,Iaşi 1924), geometria diferenţială a grupului proiectiv biaxial în spaţiul cu trei dimensiuni (“Surfaces transformables en ells-memes par une certain operation fonctionnelle”). După teza de doctorat “Contributions a la theorie des quartiques bicirculaires”, între 1922 şi 1926 Mayer a dat la iveală memorii de geometrie diferenţială a curbelor şi suprafeţelor în spaţiul eculidian.

Octav Mayer este descoperitorul suprafeţelor ce poartă azi numele său: suprafeţele Mayer. Mayer s-a ocupat în spaţiul proiectiv şi de reţelele şi de congruenţe. A studiat o serie de reţele descoperite de Al. Myller, pe care Mayer le-a numit pentru prima oară reţelele Myller . A schiţat pe urmă o teorie pentru familiile R de suprafeţe transversal într-o congruenţe de drepte, arătând că sistemul complet de invarianţi pentru o familie R şi o pereche de suprafeţe transversal se reduc la o formă pătratică. A arătat de asemenea ca fiind dată o congruenţă cu suprafeţe focale distincte ce aparţin unui spaţiu proiectiv cu n dimensiuni, familiile R de suprafeţe transversal conjugate cu congruente, se impart în trei clase, după cum planele tangent la suprafeţele în punctele unei raze generatrice constituie un fascicule, un con pătratic sau o desfăşurabilă cubică nedegenerată.

Bibliografie:

George Șt. Andone, Istoria matematicii în România, Editura Științifică, București, 1967