Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

Admiterea in ciclul inferior al liceului

Admiterea in ciclul inferior al liceului      ORDIN nr. 4.802/31.08.2010 privind organizarea şi desfăşurarea admiterii în învăţământul liceal de stat, pentru anul şcolar 2011-2012 Metodologie de organizare şi desfăşurare a admiterii în...

Read more

Lecturi limba si literatura romana pentr…

LECTURI LIMBA ȘI LITERATURA ROMÂNĂ PENTRU CLASA A XI-A Lecturi obligatorii - Literatura română pentru clasa a XI-a:Tudor Arghezi - VersuriIon Barbu - VersuriLucian Blaga - VersuriG. Călinescu - Scrinul negruM....

Read more

Spune Nu drogurilor - tipuri de droguri …

Spune Nu drogurilor - tipuri de droguri - halucinogene

1.     Halucinogene   1. LSD - dietilamida acidului lisergic - este cel mai puternic drog halucinogen cunoscut, acţiunea sa apărând la doze extrem de mici (3-6 mg). LSD-ul în stare pură...

Read more

Droguri - scurt istoric

Scurt istoric     Încă din cele mai vechi timpuri oamenii au cunoscut proprietăţile drogurilor. Acestea erau folosite în cadrul ceremoniilor religioase, al ritualurilor mistice, în scopuri terapeutice, dar şi pentru a induce...

Read more

John maxwell-o autoritate in domeniul ma…

JOHN MAXWELL-O AUTORITATE ÎN DOMENIUL MANAGEMENTULUI ȘCOLAR PERFORMANT Numele: FILDAN MIHAELA Calitatea: PROFESOR LIMBA ROMÂNĂ Instituția: LICEUL TEOLOGIC BAPTIST EMANUEL ORADEA “Pentru a câştiga încrederea oamenilor, un lider trebuie sa aibă următoarele...

Read more

The critical period in language learning

THE CRITICAL PERIOD IN LANGUAGE LEARNING Prof. Chirilă Ana-Maria Şcoala Gimnazială ,,Iustin Pîrvu’’ Poiana Teiului The critical period hypothesis states that there is a period of life (between birth and puberty)...

Read more

Advantages of teaching english through p…

ADVANTAGES OF TEACHING ENGLISH THROUGH PROJECTS   Sorina Mirela Lungu - profesor Colegiul Tehnic Reșița   The article concentrates on the positive aspects of teaching English in a more natural way, through projects. By applying...

Read more

CAUZELE ALBIRII RECIFURILOR DE CORALI_ST…

STUDIU DE CAZ DESPRE CAUZELE ALBIRII RECIFURILOR DE CORALI Prof. Dimitriu Alina Grup Școlar Agricol Alexandria, jud. Teleorman Recifurile de corali sunt printre cele mai diverse...

Read more