Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Educatia estetica si artistica

EDUCATIA ESTETICA SI ARTISTICA   Conceptul de estetica si educatie estetica Conceptul de estetica isi are originea in limba greaca: aisthesis, aisthetikos ceea ce se refera la sensibil, placut, frumos. Estetica este stiinta...

Read more

Importanta creativitatii in procesul de …

IMPORTANŢA CREATIVITĂŢII ÎN PROCESUL DE ÎNVĂŢARE A MATEMATICII ÎN GIMNAZIU   Copaciu Georgeta Cătălina  prof. Şcoala Generală Moeciu de Jos, Jud. Braşov     Prin învăţarea creativă trebuie să reuşim să facem din fiecare copil un...

Read more

Comunicarea didactica

COMUNICAREA DIDACTICĂ   prof. înv. primar Răvășel Oana – Cătălina, Școala Gimnazială Dobrun   Comunicarea a fost definită ca o formă particulară a relaţiei de schimb între două sau mai multe persoane, două sau...

Read more

Inspectia de specialitate scop obiective…

CAPITOLUL II  Inspectia unitatilor de invatamant preuniversitar      SECTIUNEA a 5-a Inspectia de specialitate. Scop, obiective, tipuri, etape   Art. 37. -     Inspectia de specialitate reprezinta o activitate complexa de evaluare a competentelor profesionale/activitatii...

Read more

Stilurile de invatare

STILURILE DE ÎNVĂȚARE   Profesor Nae Mihaela Liceul Tehnologic Constantin Brâncuși, Pitești               Rezumat: Articolul îşi propune identificarea avantajelor cunoașterii stilurilor de învǎțare proprii fiecǎrui elev.       Cuvinte cheie: abilitǎți, elevi, stil de învǎțare.   Conform ultimelor descoperiri ale...

Read more

Ordin privind aprobarea metodologiei pen…

Ordin privind aprobarea Metodologiei pentru primirea la studii si scolarizarea cetatenilor straini din state terte UE in invatamantul de stat si particular acreditat din Romania   Afla Ordinul 6000 din 15 octombrie...

Read more

Legea 258/2007 privind practica elevilor…

Legea 258/2007 privind practica elevilor si studentilor   Capitolul I - Dispozitii generale  Art. 1 Practica este activitatea desfasurata de elevi si studenti, in conformitate cu planul de invatamant, care are drept scop...

Read more

The myth of feminine beauty in victorian…

THE MYTH OF FEMININE BEAUTY IN VICTORIAN BRITISH NOVELS   Profesor Ştefănescu Adriana Colegiul Tehnic „Regele Ferdinand I”, Timişoara   I chose to study the Victorian novels because I considered them the beginners in breaking...

Read more