Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Teoriile contemporane ale managementului…

TEORIILE CONTEMPORANE ALE MANAGEMENTULUI APLICABILE ȋN ŞCOALA ROMÂNEASCĂ   Profesor limba engleza Camelia Timofte Școala cu cls. I-VIII G.E. Palade, Buzău     Pentru managerul unei unități de învățământ, a motiva personalul implică a identifica acele...

Read more

Principiile alternativei educationale st…

Principiile alternativei educationale step by step

PRINCIPIILE ALTERNATIVEI EDUCAȚIONALE STEP BY STEP Florea Mihaela Ramona, prof. înv. primar Școala Gimnazială „Andrei Șaguna“ Deva Step by Step este o metodă alternativă...

Read more

Calendarul admiterii la liceu pentru anu…

Calendarul admiterii in invatamantul liceal de stat pentru anul scolar 2013-2014   Vezi Calendarul admiterii in invatamantul liceal de stat pentru anul 2013-2014 

Read more

dezvoltarea competentelor cheie citit sc…

DEZVOLTAREA COMPETENŢELOR CHEIE CITIT - SCRIS  PRIN  DISCIPLINELE DE  STUDIU  DIN  ÎNVĂŢĂMÂNTUL PRIMAR LA FIECARE CLASĂ     Profesor Rodica Stan, Şcoala Viile, jud. Galaţi     Pornind de la citatul "Elevul trebuie învăţat să citească...

Read more

Eminescu si aron pumnul

EMINESCU ŞI ARON PUMNUL Prof. Safta Mariana Alina Şcoala Gimnazială Tudor Vladimirescu, Târgovişte Aron Pumnul s-a născut la 27.XI.1818, la Cuciulata, judeţul Braşov şi a murit la 12./24.I.1866, la Cernăuţi....

Read more

Inspectia tematica scop obiective tipuri…

CAPITOLUL II  Inspectia unitatilor de invatamant preuniversitar   SECTIUNEA a 6-a Inspectia tematica. Scop, obiective, tipuri, etape   Art. 46. -     Obiectul principal al inspectiei tematice il reprezinta o secventa particulara/un aspect a/al activitatii...

Read more

Sarbatoarea de Ignat in satul romanesc

SĂRBĂTOAREA DE IGNAT ÎN SATUL ROMÂNESC dr. Ştefan Lucian MUREŞANU   Motto: Colo jos, colo mai jos / Oi linoi, linoi, lar Doamne / Ce turme de oi s-o scos / Pa Rătutu...

Read more

Particularitati hidrogeologice ale Balti…

PARTICULARITĂŢI HIDROGEOLOGICE ALE BĂLŢII BRĂILEI   Prof. dr. Ion Andronache, Liceul Tehnologic „Constantin Brâncoveanu”, Brăila   În regim natural de scurgere, nivelul pânzei freatice din Balta Mare a Brăilei era situat la adâncimi de...

Read more