Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Studiu privind aplicatiile proprietatii lui Darboux
Scris de mihaiela lazar   
Miercuri, 08 Aprilie 2015 08:03

STUDIU PRIVIND APLICAŢIILE PROPRIETĂŢII LUI DARBOUX

Prof. Pantin Delia

Colegiul Tehnic Energetic „Regele Ferdinand I” Timişoara

Proprietatea lui Darboux poate fi folosită în rezolvarea unor probleme aplicative în diverse domenii ca: fizică, geometrie, trigonometrie, algebră, analiză matematică.

PROBLEME REZOLVATE

1) Distanţa dintre două puncte A şi B este de 160 km. Un mobil porneşte la momentul din A şi parcurge

distanţa AB în două ore. Considerând distanţa parcursă până la momentul ca funcţie continuă de

timp, arătaţi că există două puncte M, N între A şi B cu MN=80 km astfel încât mobilul parcurge distanţa

dintre ele exact într-o oră.

Rezolvare:

Pentru orice notăm cu distanţa parcursă de mobil în intervalul de timp [0,t]. Deci funcţia

R este continuă şi , . Distingem cazurile:

a)

Fie funcţia R, . Deoarece funcţia d este continuă, rezultă că şi funcţia f este continuă.

Observăm că , .

Deci .

Deoarece funcţia f este continuă atunci există astfel încât , deci . Aşadar, dacă notăm cu M şi N punctele dintre A şi B corespunzătoare valorilor , respectiv , avem MN=80 şi distanţa MN este parcursă într-o oră.

b)

Atunci M=A şi N este mijlocul segmentului [AB].

c)

Fie funcţia R, . Deoarece funcţia d este continuă, rezultă că şi funcţia g este continuă.

Observăm că , .

Deci 80 este între g(1) şi g(2).

Deoarece funcţia g este continuă atunci există astfel încât , deci . Aşadar, dacă notăm cu M şi N punctele dintre A şi B corespunzătoare valorilor , respectiv , avem

MN=80 şi distanţa MN este parcursă într-o oră.

2) Se dă triunghiul ABC astfel încât . Să se arate că există un punct astfel încât este media geometrică dintre * şi .

Rezolvare:

Fie D un punct oarecare aparţinând lui [AB] şi α măsura în radiani a unghiului ACD, , unde prin C înţelegem măsura unghiului ACB.

Aplicând teorema sinusurilor în triunghiurile CAD şi CDB obţinem (1) şi (2).

Înmulţind egalităţile (1) şi (2) obţinem (3)

Introducem funcţia R , dată prin .

Funcţia f este continuă şi , .

Rezultă că există astfel încât

există un punct astfel încât este media geometrică dintre* şi .

3) Să se stabilească semnul funcţiei pe domeniul maxim de definiţie.

Rezolvare:

Condiţiile de existenţă sunt şi rezolvând acest sistem obţinem domeniul maxim de definiţie al funcţiei.

Rezolvând ecuaţia obţinem soluţiile şi .

Funcţia f este continuă pe , deci are proprietatea lui Darboux pe D. Pe intervalele determinate de zerouri semnul funcţiei este constant. Pentru determinarea semnului pe un interval, este suficient să determinăm semnul unei valori intermediare.

În cazul nostru funcţia f păstrează semn constant pe intervalele ,, şi . Calculând valorile funcţiei în punctele

, , şi obţinem că , , şi .

Alcătuim tabelul de semn:

4) Determinaţi imaginea funcţiei R, şi stabiliţi dacă funcţia este surjectivă.

Rezolvare:

Deoarece funcţia f este continuă atunci este tot un interval.

Pentru a determina acest interval, este suficient să-i determinăm capetele.

Observăm că

  • ,
  • funcţia f este strict crescătoare, ca sumă de funcţii strict crescătoare.

Rezultă că R. Deoarece imaginea funcţiei prin demeniul de definiţie coincide cu codomeniul ei, rezultă că funcţia este surjectivă.

5) Funcţia R, nu are proprietatea lui Darboux pe (-2, 2).

Rezolvare:

Metoda I. Folosim definiţia.

Fie pentru care . Luăm şi constatăm că nu există pentru care .

Dacă ar exista pentru care atunci avem absurd.

Dacă ar exista pentru atunci avem . Rezultă că f nu este o funcţie Darboux.

Metoda II. Folosim faptul că funcţiile Darboux nu au puncte de discontinuitate de speţa întâi.

Cum şi rezultă că 0 este punct de discontinuitate de speţa intâi şi deci funcţia f nu are proprietatea lui Darboux.

Metoda III. Folosim faptul că dacă R cu nu este interval rezultă că f nu este o funcţie Darboux.

Observăm că nu este interval, deci f nu este o funcţie Darboux.

6) Arătaţi că funcţia RR , nu admite primitive pe R.

Rezolvare:

Metoda I: Din , rezultă că 1 este punct de discontinuitate de speţa întâi şi deci f nu admite primitive pe R.

Metoda II: Cum f(R)=(-¥, 1 ] È ( 2013, ¥ ) nu este interval, rezultă că f nu are proprietatea lui Darboux şi deci f nu admite primitive pe R.

Metoda III: Considerăm funcţiile RR , şi .

Observăm că

Deoarece funcţia este continuă pe R, rezulta că funcţia admite primitive pe R.

Cum nu este interval, rezultă că nu are proprietatea lui Darboux şi deci nu admite primitive pe R.

Arătăm, prin reducere la absurd, că f nu admite primitive pe R.

Presupunem că f admite primitive pe R. Atunci ar rezulta că funcţia ar admite primitive ca diferenţa a două funcţii primitivabile, contradicţie cu faptul că nu admite primitive pe R.

Deci funcţia f nu admite primitive.

Bibliografie:

1. MEGAN M., BUŞE C., LAŢCU D.R., Analiză Matematică, Editura Amarcod, Timişoara 1995

2. MEGAN M., IVAN GH., PUTA M., Examene şi concursuri pentru profesorii de matematică, Vol. I,

Editura Mirton, Timişoara 1997

3. MEGAN M., IVAN GH., PUTA M., Examene şi concursuri pentru profesorii de matematică, Vol. II,

Editura Mirton, Timişoara 1999

4. MEGAN M., IVAN GH., PUTA M., Matematica în Examene şi Concursuri, Editura Mirton,

Timişoara 2003

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

Creativitatea in scoala si in afara ei

CREATIVITATEA ÎN ŞCOALĂ ŞI ÎN AFARA EI   Prof. Gabriela Ungureanu, Colegiul Tehnic Regele Ferdinand I, Timişoara   Societatea contemporană, comparativ cu cele anterioare, se caracterizează prin schimbări radicale care se petrec în conduită,...

Read more

Tipuri de paratopii in poetica macedonsk…

TIPURI DE PARATOPII ÎN POETICA MACEDONSKIANĂ   Profesor Drd. Miron Costina Violeta profesor la Şcoala cu cls. I-VIII Tălpaş, Dolj   Macedonski este o persoană care nu-și găsește locul și trebuie să-și construiască teritoriul...

Read more

Educatie ecologica si de protectie a med…

Educatie ecologica si de protectie a mediului Caietul elevului Clasele I-IV     - un material finantat de Ministerul Educatiei, Cercetarii si Tineretului prin Ordin de Ministru nr. 2730/03.12.2007   Disciplina optionala “Educatie ecologica si de protectie...

Read more

Imigrantii din Italia

STUDIU DE CAZ: IMIGRANŢII DIN ITALIA   Profesor Manole Irina Liceul Teoretic „Miron Costin” Paşcani, judeţul Iaşi   Rezumat: Imigranţii sunt o parte componentă a fenomenului migraţional, ei reprezintă forţa activă care stimulează creşterea economică,...

Read more

Rolul adolescentului in societate

ROLUL ADOLESCENTULUI ÎN SOCIETATE   Prof. Teodorescu Lacramioara Liceul Teoretic D. Zamfirescu Odobeşti, Jud. Vrancea Fiecare adolescent este un caz concret, distinct şi trebuie tratat ca atare. El are maniera sa...

Read more

Ideea franceza de civilizatie

IDEEA FRANCEZĂ DE CIVILIZAŢIE   Maghiar Adina, prof. de limba şi literatura română S08 „Arany Janos”, Salonta        Fiecare civilizaţie este legată de un spaţiu, cu limite aproape stabile, existând pentru fiecare dintre ele...

Read more

Gestionarea situatiilor de criza educati…

GESTIONAREA SITUAȚIILOR DE CRIZĂ EDUCAȚIONALĂ Prof. Pavel-Surlaru Adriana-Cristina Colegiul Economic Buzău Situaţia de criză educaţională poate fi definită ca un eveniment sau complex de evenimente...

Read more

Studiu privind gestionarea situatiilor c…

Studiu privind gestionarea situatiilor conflictuale

STUDIU PRIVIND GESTIONAREA SITUAȚIILOR CONFLICTUALE                                                                 Rotariu Corina – Daniela Liceul Tehnologic „Alexandru Vlahuță” Șendriceni   Rezumat Studiul de faţă se doreşte a fi o sumară radiografie a elementelor cu implicaţii în organizarea activităţii de...

Read more