Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Studiu privind aplicatiile proprietatii lui Darboux
Scris de mihaiela lazar   
Miercuri, 08 Aprilie 2015 08:03

STUDIU PRIVIND APLICAŢIILE PROPRIETĂŢII LUI DARBOUX

Prof. Pantin Delia

Colegiul Tehnic Energetic „Regele Ferdinand I” Timişoara

Proprietatea lui Darboux poate fi folosită în rezolvarea unor probleme aplicative în diverse domenii ca: fizică, geometrie, trigonometrie, algebră, analiză matematică.

PROBLEME REZOLVATE

1) Distanţa dintre două puncte A şi B este de 160 km. Un mobil porneşte la momentul din A şi parcurge

distanţa AB în două ore. Considerând distanţa parcursă până la momentul ca funcţie continuă de

timp, arătaţi că există două puncte M, N între A şi B cu MN=80 km astfel încât mobilul parcurge distanţa

dintre ele exact într-o oră.

Rezolvare:

Pentru orice notăm cu distanţa parcursă de mobil în intervalul de timp [0,t]. Deci funcţia

R este continuă şi , . Distingem cazurile:

a)

Fie funcţia R, . Deoarece funcţia d este continuă, rezultă că şi funcţia f este continuă.

Observăm că , .

Deci .

Deoarece funcţia f este continuă atunci există astfel încât , deci . Aşadar, dacă notăm cu M şi N punctele dintre A şi B corespunzătoare valorilor , respectiv , avem MN=80 şi distanţa MN este parcursă într-o oră.

b)

Atunci M=A şi N este mijlocul segmentului [AB].

c)

Fie funcţia R, . Deoarece funcţia d este continuă, rezultă că şi funcţia g este continuă.

Observăm că , .

Deci 80 este între g(1) şi g(2).

Deoarece funcţia g este continuă atunci există astfel încât , deci . Aşadar, dacă notăm cu M şi N punctele dintre A şi B corespunzătoare valorilor , respectiv , avem

MN=80 şi distanţa MN este parcursă într-o oră.

2) Se dă triunghiul ABC astfel încât . Să se arate că există un punct astfel încât este media geometrică dintre * şi .

Rezolvare:

Fie D un punct oarecare aparţinând lui [AB] şi α măsura în radiani a unghiului ACD, , unde prin C înţelegem măsura unghiului ACB.

Aplicând teorema sinusurilor în triunghiurile CAD şi CDB obţinem (1) şi (2).

Înmulţind egalităţile (1) şi (2) obţinem (3)

Introducem funcţia R , dată prin .

Funcţia f este continuă şi , .

Rezultă că există astfel încât

există un punct astfel încât este media geometrică dintre* şi .

3) Să se stabilească semnul funcţiei pe domeniul maxim de definiţie.

Rezolvare:

Condiţiile de existenţă sunt şi rezolvând acest sistem obţinem domeniul maxim de definiţie al funcţiei.

Rezolvând ecuaţia obţinem soluţiile şi .

Funcţia f este continuă pe , deci are proprietatea lui Darboux pe D. Pe intervalele determinate de zerouri semnul funcţiei este constant. Pentru determinarea semnului pe un interval, este suficient să determinăm semnul unei valori intermediare.

În cazul nostru funcţia f păstrează semn constant pe intervalele ,, şi . Calculând valorile funcţiei în punctele

, , şi obţinem că , , şi .

Alcătuim tabelul de semn:

4) Determinaţi imaginea funcţiei R, şi stabiliţi dacă funcţia este surjectivă.

Rezolvare:

Deoarece funcţia f este continuă atunci este tot un interval.

Pentru a determina acest interval, este suficient să-i determinăm capetele.

Observăm că

  • ,
  • funcţia f este strict crescătoare, ca sumă de funcţii strict crescătoare.

Rezultă că R. Deoarece imaginea funcţiei prin demeniul de definiţie coincide cu codomeniul ei, rezultă că funcţia este surjectivă.

5) Funcţia R, nu are proprietatea lui Darboux pe (-2, 2).

Rezolvare:

Metoda I. Folosim definiţia.

Fie pentru care . Luăm şi constatăm că nu există pentru care .

Dacă ar exista pentru care atunci avem absurd.

Dacă ar exista pentru atunci avem . Rezultă că f nu este o funcţie Darboux.

Metoda II. Folosim faptul că funcţiile Darboux nu au puncte de discontinuitate de speţa întâi.

Cum şi rezultă că 0 este punct de discontinuitate de speţa intâi şi deci funcţia f nu are proprietatea lui Darboux.

Metoda III. Folosim faptul că dacă R cu nu este interval rezultă că f nu este o funcţie Darboux.

Observăm că nu este interval, deci f nu este o funcţie Darboux.

6) Arătaţi că funcţia RR , nu admite primitive pe R.

Rezolvare:

Metoda I: Din , rezultă că 1 este punct de discontinuitate de speţa întâi şi deci f nu admite primitive pe R.

Metoda II: Cum f(R)=(-¥, 1 ] È ( 2013, ¥ ) nu este interval, rezultă că f nu are proprietatea lui Darboux şi deci f nu admite primitive pe R.

Metoda III: Considerăm funcţiile RR , şi .

Observăm că

Deoarece funcţia este continuă pe R, rezulta că funcţia admite primitive pe R.

Cum nu este interval, rezultă că nu are proprietatea lui Darboux şi deci nu admite primitive pe R.

Arătăm, prin reducere la absurd, că f nu admite primitive pe R.

Presupunem că f admite primitive pe R. Atunci ar rezulta că funcţia ar admite primitive ca diferenţa a două funcţii primitivabile, contradicţie cu faptul că nu admite primitive pe R.

Deci funcţia f nu admite primitive.

Bibliografie:

1. MEGAN M., BUŞE C., LAŢCU D.R., Analiză Matematică, Editura Amarcod, Timişoara 1995

2. MEGAN M., IVAN GH., PUTA M., Examene şi concursuri pentru profesorii de matematică, Vol. I,

Editura Mirton, Timişoara 1997

3. MEGAN M., IVAN GH., PUTA M., Examene şi concursuri pentru profesorii de matematică, Vol. II,

Editura Mirton, Timişoara 1999

4. MEGAN M., IVAN GH., PUTA M., Matematica în Examene şi Concursuri, Editura Mirton,

Timişoara 2003

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

Romancierul Paul Georgescu

ROMANCIERUL - PAUL GEORGESCU   „AICI REZISTA NUMAI CEI TARI. SCRISUL E O TERAPEUTICĂ EXCELENTĂ.” (Paul Georgescu)   Profesor Popescu Ileana - Alina, Școala „Arhitect T.T. Socolescu”, Păuleşti-Prahova     Rezumat: Articolul face parte dintr-o lucrare amplă ce...

Read more

Planificare model pentru cultura civica …

Planificare model pentru cultura civica invatamant gimnazial   Incepand cu anul scolar 2011-2012, Ministerul Educatiei, Cercetarii, Tineretului si Sportului a oferit pentru prima data tuturor cadrelor didactice modele de planificari calendaristice. Iata...

Read more

Calitatea in educatie

CALITATEA IN EDUCATIE   Conform Cadrului National de Calificari Profesionale, calitatea reprezinta nivelul de satisfactie pe care il ofera eficacitatea ofertei educationale din domeniul invatamantului si formarii profesionale, stabilit prin atingerea unor...

Read more

Aspecte privind educatia estetica

ASPECTE PRIVIND EDUCAŢIA ESTETICÃ Institutor Riciu Daniela Şcoala cu clasele I-IV Vitãnestii de sub Mãgurã, S.A.M. nr. 1 Gãgesti, Bolotesti,Vrancea Educatia esteticã reprezintã activitatea de formare-dezvoltare a...

Read more

Scoala incluziva

 ŞCOALA INCLUZIVĂ   Institutor Herczeg Monica, Şcoala cu Clasele I-VIII Dudeştii Noi              Dreptul de incluziune şcolară se poate defini prin acceptarea de către instituţiile de învăţământ a tuturor copiilor, indiferent de sex,...

Read more

Comunicare eficienta in situatii conflic…

COMUNICARE EFICIENTĂ ÎN SITUAŢII CONFLICTUALE Rapciuc Andreea, profesor psihopedagog Liceul cu Program Sportiv “Iolanda Balaş Soter” din Buzău Conflictul reprezintă o stare de tensiune creată...

Read more

Jocul didactic

JOC DIDACTIC (PANAITOPOL L. , ETAPA FINALĂ 1979) prof. Irina Ariton Școala Gimnazială „ Ghiță Mocanu “ Onești Puternic ancorată în realităţile practicii contemporane...

Read more

Dispozitii finale concurs pentru ocupare…

CAPITOLUL VI  Dispozitii finale      Art. 23. -    (1) Cheltuielile pentru organizarea si desfasurarea concursului pentru ocuparea posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate in unitatile de invatamant particular din invatamantul preuniversitar, precum si plata cadrelor...

Read more