Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768

Studiu privind aplicatiile proprietatii lui Darboux
Scris de mihaiela lazar   
Miercuri, 08 Aprilie 2015 08:03

STUDIU PRIVIND APLICAŢIILE PROPRIETĂŢII LUI DARBOUX

Prof. Pantin Delia

Colegiul Tehnic Energetic „Regele Ferdinand I” Timişoara

Proprietatea lui Darboux poate fi folosită în rezolvarea unor probleme aplicative în diverse domenii ca: fizică, geometrie, trigonometrie, algebră, analiză matematică.

PROBLEME REZOLVATE

1) Distanţa dintre două puncte A şi B este de 160 km. Un mobil porneşte la momentul din A şi parcurge

distanţa AB în două ore. Considerând distanţa parcursă până la momentul ca funcţie continuă de

timp, arătaţi că există două puncte M, N între A şi B cu MN=80 km astfel încât mobilul parcurge distanţa

dintre ele exact într-o oră.

Rezolvare:

Pentru orice notăm cu distanţa parcursă de mobil în intervalul de timp [0,t]. Deci funcţia

R este continuă şi , . Distingem cazurile:

a)

Fie funcţia R, . Deoarece funcţia d este continuă, rezultă că şi funcţia f este continuă.

Observăm că , .

Deci .

Deoarece funcţia f este continuă atunci există astfel încât , deci . Aşadar, dacă notăm cu M şi N punctele dintre A şi B corespunzătoare valorilor , respectiv , avem MN=80 şi distanţa MN este parcursă într-o oră.

b)

Atunci M=A şi N este mijlocul segmentului [AB].

c)

Fie funcţia R, . Deoarece funcţia d este continuă, rezultă că şi funcţia g este continuă.

Observăm că , .

Deci 80 este între g(1) şi g(2).

Deoarece funcţia g este continuă atunci există astfel încât , deci . Aşadar, dacă notăm cu M şi N punctele dintre A şi B corespunzătoare valorilor , respectiv , avem

MN=80 şi distanţa MN este parcursă într-o oră.

2) Se dă triunghiul ABC astfel încât . Să se arate că există un punct astfel încât este media geometrică dintre * şi .

Rezolvare:

Fie D un punct oarecare aparţinând lui [AB] şi α măsura în radiani a unghiului ACD, , unde prin C înţelegem măsura unghiului ACB.

Aplicând teorema sinusurilor în triunghiurile CAD şi CDB obţinem (1) şi (2).

Înmulţind egalităţile (1) şi (2) obţinem (3)

Introducem funcţia R , dată prin .

Funcţia f este continuă şi , .

Rezultă că există astfel încât

există un punct astfel încât este media geometrică dintre* şi .

3) Să se stabilească semnul funcţiei pe domeniul maxim de definiţie.

Rezolvare:

Condiţiile de existenţă sunt şi rezolvând acest sistem obţinem domeniul maxim de definiţie al funcţiei.

Rezolvând ecuaţia obţinem soluţiile şi .

Funcţia f este continuă pe , deci are proprietatea lui Darboux pe D. Pe intervalele determinate de zerouri semnul funcţiei este constant. Pentru determinarea semnului pe un interval, este suficient să determinăm semnul unei valori intermediare.

În cazul nostru funcţia f păstrează semn constant pe intervalele ,, şi . Calculând valorile funcţiei în punctele

, , şi obţinem că , , şi .

Alcătuim tabelul de semn:

4) Determinaţi imaginea funcţiei R, şi stabiliţi dacă funcţia este surjectivă.

Rezolvare:

Deoarece funcţia f este continuă atunci este tot un interval.

Pentru a determina acest interval, este suficient să-i determinăm capetele.

Observăm că

  • ,
  • funcţia f este strict crescătoare, ca sumă de funcţii strict crescătoare.

Rezultă că R. Deoarece imaginea funcţiei prin demeniul de definiţie coincide cu codomeniul ei, rezultă că funcţia este surjectivă.

5) Funcţia R, nu are proprietatea lui Darboux pe (-2, 2).

Rezolvare:

Metoda I. Folosim definiţia.

Fie pentru care . Luăm şi constatăm că nu există pentru care .

Dacă ar exista pentru care atunci avem absurd.

Dacă ar exista pentru atunci avem . Rezultă că f nu este o funcţie Darboux.

Metoda II. Folosim faptul că funcţiile Darboux nu au puncte de discontinuitate de speţa întâi.

Cum şi rezultă că 0 este punct de discontinuitate de speţa intâi şi deci funcţia f nu are proprietatea lui Darboux.

Metoda III. Folosim faptul că dacă R cu nu este interval rezultă că f nu este o funcţie Darboux.

Observăm că nu este interval, deci f nu este o funcţie Darboux.

6) Arătaţi că funcţia RR , nu admite primitive pe R.

Rezolvare:

Metoda I: Din , rezultă că 1 este punct de discontinuitate de speţa întâi şi deci f nu admite primitive pe R.

Metoda II: Cum f(R)=(-¥, 1 ] È ( 2013, ¥ ) nu este interval, rezultă că f nu are proprietatea lui Darboux şi deci f nu admite primitive pe R.

Metoda III: Considerăm funcţiile RR , şi .

Observăm că

Deoarece funcţia este continuă pe R, rezulta că funcţia admite primitive pe R.

Cum nu este interval, rezultă că nu are proprietatea lui Darboux şi deci nu admite primitive pe R.

Arătăm, prin reducere la absurd, că f nu admite primitive pe R.

Presupunem că f admite primitive pe R. Atunci ar rezulta că funcţia ar admite primitive ca diferenţa a două funcţii primitivabile, contradicţie cu faptul că nu admite primitive pe R.

Deci funcţia f nu admite primitive.

Bibliografie:

1. MEGAN M., BUŞE C., LAŢCU D.R., Analiză Matematică, Editura Amarcod, Timişoara 1995

2. MEGAN M., IVAN GH., PUTA M., Examene şi concursuri pentru profesorii de matematică, Vol. I,

Editura Mirton, Timişoara 1997

3. MEGAN M., IVAN GH., PUTA M., Examene şi concursuri pentru profesorii de matematică, Vol. II,

Editura Mirton, Timişoara 1999

4. MEGAN M., IVAN GH., PUTA M., Matematica în Examene şi Concursuri, Editura Mirton,

Timişoara 2003

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

Fisa de evaluare a activitatii didactice…

Fişă de evaluare a activităţii didactice în inspecţia curentă/specială pentru acordarea gradului didactic I   Vezi noua fişă de evaluare a activităţii didactice în cadrul inspecţiei curente/speciale pentru acordarea gradului didactic II. Această...

Read more

Interpretare chestionar Education Techno…

Interpretarea rezultatelor la Chestionar pentru cadrele didactice de la Mark Twain International School   Education Technology for World Class Learning La prima întrebare, referitoare la scopul utilizării calculatorului în timpul programului, cadrele didactice...

Read more

Importanta orelor de educatie fizica in …

IMPORTANŢA ORELOR DE EDUCAŢIE FIZICĂ ÎN ŞCOALĂ Prof. Ed. fizică Lazăr Răzvan Şcoala Gimnazială “Anghel Saligny” Focşani, Vrancea Educaţia fizică din...

Read more

Droguri - scurt istoric

Scurt istoric     Încă din cele mai vechi timpuri oamenii au cunoscut proprietăţile drogurilor. Acestea erau folosite în cadrul ceremoniilor religioase, al ritualurilor mistice, în scopuri terapeutice, dar şi pentru a induce...

Read more

Educatia stiinta si arta

EDUCAŢIA - ŞTIINŢĂ ŞI ARTĂ   PANAIT ELENA, profesor de limba şi literatura română Şcoala gimnazială „George Ştephănescu”, judeţul Argeş                   Educaţia este o activitate necesară şi permanentă nu numai pentru realizarea de sine...

Read more

Ce este evaluarea rezultatelor scolare

CE ESTE EVALUAREA REZULTATELOR ŞCOLARE?                                                                                                      Prof. DOBREA MONICA Şcoala cu cls. I-VIII „Înv. N. Pâslaru” Caşin, jud. Bacău                Procesul de învăţământ reprezintă subsistemul praxiologic al sistemului de învăţământ, finalizat la nivelul...

Read more

Cugetari

   "Educatia este abilitatea de a asculta aproape orice lucru fãrã sã-ti pierzi rãbdarea sau încrederea în tine." - Robert Frost   „Pentru ca educarea copiilor sã fie încununatã de...

Read more

Factorii care influenteaza dezvoltarea c…

FACTORII CARE INFLUENŢEAZĂ DEZVOLTAREA COPILULUI Prof. înv. preşc. Tăut Andreea Maria Grădiniţa cu P.P Nr. 13 Rezumat Factorii instituţionali ai educaţiei sunt şcoala, familia, biserica, armata, ş.a. Familia exercită o influenţă...

Read more