PREDAREA NOŢIUNILOR DE TEORIA NUMERELOR

Profesor Voinea-Axinte Costică

Liceul Tehnologic ”Elie Radu” Botoşani

În literatura de specialitate s-a cristalizat teoria că noţiunile şi cunoştinţele se pot ordona, pentru predare-învăţare în două sisteme: sistemul linear şi sistemul concentric (cantitativ şi calitativ). După cum se ştie, sistemul lineat desemnează modul de organizare a cunoştinţelor cu noţiuni care de însuşesc în formă definitivă şi în într-o sferă de curprindere, fără reluări succesive.

Sistemul concentric cantitativ desemneaza forma de organizare a noţiunilor care au sferă largă de componenţă şi care se predau prin reluări, lărgindu-se complementar cu fiecare reluare aria cunoştinţelor, fără restructurări ale conceptelor şi ale modelelor logice stabilite anterior.

Problemele legate de teoria numerelor oferă un model de organizare a cunoştinţelor, noţiunilor într-un sistem concentric cantitativ.

În şcoală, noţiunea de număr, noţiune fundamentală în matematică, se dezvoltă treptat în diferiţi ani de studiu, urmărindu-se atingerea jaloanelor fixate însuşi conţinutul acestei noţiuni în ultimii ani ai liceului.

În fiecare treaptă a acestui proces, elevul trebuie să înţeleagă în primul rând principiile de bază care conduc la lărgirea noţiunii de număr şi anume:

Ce problemă, ce necesitate impune această lărgire;

Noua lărgire conduce la o mulţime de numere care o include pe cea precedentă, cunoscută;

Odată cu definiţia ce se dă noilor numere trebuie să se dea noi definiţii şi pentru operaţii: aceste noi definiţii se dau în aşa fel încât să lărgească, fără a le contrazice pe cele date anterior; trebuie arătat, de asemenea, că proprietăţile se menţin.

Trebuie de asemenea insistat pe cunoaşterea şi folosirea relaţiei de ordine pe fiecare din aceste mulţimi şi înţelegerea logică de către elevi a incluziunilor N Z Q R.

Deprinderea de a utiliza teorema împărţirii cu rest în exerciţii şi probleme, dezvoltarea capacităţii de a folosi cunoştinţele de la divizibilitate în N şi Z în rezolvarea problemelor şi în studiul numerelor raţionale, înţelegerea noţiunilor de divizibilitate a polinoamelor şi de polinoame reductibile, aflarea c.m.m.d.c şi c.m.m.m.c al două polinoame (inclusiv prin folosirea algoritmului lui Euclid, în primul caz) constituie tot atâtea puncte de reper necesare în atingerea obiectivelor specifice şi generale ale învăţării matematicii.

Astfel, importanţa noţiunilor de teoria numerelor cuprinde în manualele şcolare, începând chiar cu clasa a-V-a este cu atât mai dovedită, deoarece apare fiecare obiectiv din cele enunţate se poate realiza şi prin abordarea acestui cerc de probleme.

Problemele legate de teoria numerelor oferă un model de organizare a cunoştinţelor, noţiunilor într-un sistem concentric cantitativ.

Astfel, noţiunea de divizibilitate este introdusă în clasele mici, definită în clasa a-V-a şi dezvoltată în clasele următoare până la teoria divizibilităţii polinoamelor. Chiar din clasele II-IV prin exerciţiile cu împărţiri fară rest se intuieşte noţiunea de divizibilitate. În clasa a-V-a definiţia divizibilităţii este următoarea: „Fie a şi b două numere naturale. Spunem că b/a daca există un număr natural c astfel încât a=b∙c”. Considerăm necesară o precizare. Este ştiut faptul că formulările ambigue sau cele care nu respectă algoritmii sau codurile consacrate, perturbă procesul învăţării logice. În memorie există, astfel, asociaţii în utilizarea formulei cod a divizibilităţii. Se foloseşte şi „b divide a” şi „a este divizibil cu b”

Consideraţiile care urmează dovedesc faptul că teoria numerelor oferă un cadru adecvat organizării cunoştinţelor într-un sistem concentric calitativ, acestea fiind însuşite prin reluări succesive, restructurări şi reinterpretări ale informaţiilor şi ale modelului logic anterior până la înţelegerea noţiunilor în sferă deplin elaborată.

În clasa a V-a este un capitol bine structurat conţinând noţiunile de Divizor, multiplu. Divizibilitatea cu 10, 2, 5. Numere pare şi numere impare.

În clasa a-VI-a se revine conform modelului de organizare a cunoştinţelor, noţiunilor într-un sistem concentric cantitativ şi se prezintă noţiunile de Divizor, multiplu, Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în N, Numere prime şi numere compuse, Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime, Divizori comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c. Numere prime între ele, Multipli comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c. După cum se poate lesne observa se acumulează noţiuni fundamentale legate de teoria numerelor. Se trece apoi la prezentarea mulţimii numerelor întregi, unde se prezintă divizorii unui număr întreg.

Obiective de referinţă ca „să utilizeze de teoria mulţimilor şi de divizibilitate, pentru a justifica valoarea de adevăr a unor enunţuri” sunt realizate prin activităţi de învăţare de tipul: exerciţii de identificare a numerelor divizibile cu 2, 3, 5, 10 dintr‑o mulţime de numere întregi;exerciţii de calcul al c.m.m.d.c. şi al c.m.m.m.c.; verificarea corectitudinii unor calcule, folosind: ultima cifră, criterii de divizibilitate etc.; exerciţii ce folosesc proprietăţile rela-ţiei de divizibilitate; exerciţii de identificare a numerelor pri-me şi a perechilor de numere prime între ele;

De remarcat este faptul că încă din clasa a VI-a se urmăreşte la elevi dezvoltarea capacităţilor de explorare/investigare a modalităţilor de descompunere a numerelor întregi şi raţionale, folosind operaţiile studiate prin:

·        exerciţii de scriere a unui număr ca o sumă, diferenţă, produs, cât, putere de două sau mai multe numere, în cât mai multe moduri diferite;

·        descompunerea numerelor, respectând criterii suplimentare date; cazuri speciale de descompunere: descompunerea în produs de puteri de numere prime; descompunerea în baza 10; "proba împărţirii" (teorema împărţirii cu rest);

·        utilizarea descompunerilor pentru a calcula rapid;

În clasa a VII-a, sunt reluate noţiuni ca divizibilitate, divizor, multiplu în mulţimea Z; prezentându-se Mulţimea numerelor raţionale Q, Incluziunile NÌZÌQ, Numere reale, Aproximări, reprezentare pe axă prin aproximări. Se revine astfel la noţiuni studiate deja în clasele anterioare, adăugându-se cantitativ noi noţiuni, insistând continuu pe compararea cu noţiunile deja cunoscute.

Spre exemplu:

·        construirea unor exemple de mulţimi finite şi de mulţimi infinite (de exemplu: mulţimea divizorilor naturali ai unui nu-măr natural; mulţimea multiplilor naturali ai unui număr natural);

·        analiza unor exemple de mulţimi întâlnite în studiul altor discipline;

·        scrierea mulţimii divizorilor întregi ai unui număr întreg; compararea cu mul-ţimea divizorilor naturali;

·        scrierea mulţimii multiplilor întregi ai unui număr întreg; compararea cu mul-ţimea multiplilor naturali;

Un “câştig” remarcabil a studiului noţiunilor de teoria numerelor îl reprezintă determinarea practică a unei aproximări a numărului π precum si descompuneri în factori, utilizând regulile de calcul în R.

În clasa a VIII-a, se se urmăreşte la elevi cunoaşterea şi înţelegerea noţiunii de număr real şi  relaţiile dintre mulţimile de numere studiate, remarcabile fiind:

·        reprezentarea numerelor pe axă, recurgând, acolo unde este cazul, la aproximări sau folosind relaţii metrice în triunghiul dreptunghic

·        descompunerea unui număr real în: sumă, produs, diferenţă, cât, pute-re de două sau mai multe numere reale

·        compararea unor modalităţi diferite de a organiza efectuarea unui calcul; folosirea formulelor de calcul prescurtat, inclusiv pentru calcule numerice

·        utilizarea aproximărilor prin lipsă sau adaos pentru a compara numere întregi, raţionale sau reale

·        rotunjirea până la cea mai apropiată ze-ce, sută etc., sau zecime, sutime, mime.

Începând cu clasa a IX-a, ciclul inferior al liceului, programa de matematică este structurată pe formarea de competenţe. Acest tip de proiectare curriculară îşi propune focalizarea pe achiziţiile finale ale învăţării, accentuarea dimensiunii acţionale în formarea personalităţii elevului, se studiază astfel la un alt nivel mulţimea numerelor reale , aproximări prin lipsă sau prin adaos.

În clasa a X-a, aplicarea prin analogie a metodelor de lucru din aritmetica numerelor în calculul cu polinoame, compararea proprietăţilor operaţiilor cu numere reale şi aplicarea acestor proprietăţi în rezolvarea ecuaţiilor se studiază astfel împărţirea polinoamelor, teorema împărţirii cu rest a polinoamelor, studiul divizibilităţii polinoamelor. Noţiunile legate de divizibilitate  predate în clasa a-X-a se aliniază sistemului referenţial al elementelor şi se deosebesc de acestea doar prin modul de informaţie şi prin gradul de generalitate al lor, dar urmăresc aceeaşi structură logică stabilită în clasa a V-a.

“Spirala” se completează în clasa a XII-a studiind noţiunile de grup, inel (Z, Zn, inele de funcţii, polinoame), corp.

Sintetizând problema unicităţii descompunerii în factori primi parcurge prin acumulări succesive următorii paşi:

În clasa a V-a teorema unicităţii descompunerii unui număr natural în factori primi a fost admisă fără demonstraţie, ba chiar fără a fi fost enunţată explicit. Totuşi ea este esenţială deoarece regulile de aflare a c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al două numere descompuse în factori primi etc. devin riguros stabilite numai pe baza unicităţii descompunerii unui număr natural în factori primi.

Fie . Multiplii lui A sunt numerele care conţin factorii , 5; depildă  sau  etc. Întradevăr aceştia sunt multipli, depildă . Problema inversă fiind dat  este el multiplu de A?

Răspundem: dacă în descompunerea lui B nu există  şi 5, B nu este multiplu de A. Acest răspuns este valabil pe baza teoremei unicităţii; dacă ea nu ar fi valabilă s-ar putea ca , fără ca ,  sau  să fie 2 sau 5.

Şi marii matematicieni dinaintea lui Gauss au promovat unicitatea evidentă. Necesitatea demonstraţiei a apărut atunci când s-au găsit inele în care descompunerea în factori primi nu este unică.

Dacă trecem de la N la Z, două descompuneri în factori primi pot diferi nu numai prin ordinea factorilor ci şi prin faptul că unii factori au fost înmulţiţi cu -1, de exemplu: .

Teoria divizibilităţii în inelul polinoamelor este în esenţă aceeaşi ca şi în inelul întregilor; ea primeşte numai adnotări provenite din faptul că există o infinitate de divizori improprii.

Teorema unicităţii se exprimă în forma: un polinom nu poate avea două descompunerii în factori ireductibili distincte decât cel mult: a) prin ordinea factorilor; b) prin faptul că unii factori au fost înmulţiţi cu constante.

Bibliografie

I. Tofan, Aritmetica - Note de curs, http://www.math.uaic.ro/~tofan/

E. Rusu, Aritmetica si teoria numerelor, Ed. did. si ped., Bucuresti, 1963

I. Cucurezeanu, Probleme de aritmetică şi teoria numerelor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1976

P. Minuţ, Teoria Numerelor - Capitole de bază, Editura Universităţii "Al.I.Cuza" Iaşi, 1999

*** Colecţia gazetei matematice, Seria B, dintre anii 1973-1987

***Culegerile cuprizand problemele date la diversele concursuri şcolare