Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

De ce si cum sa cultivam gustul pentru c…

DE CE ȘI CUM SĂ CULTIVĂM GUSTUL PENTRU CITIT LA COPII ȘI ADOLESCENȚI?   Soroiu Crina, profesor învățământ primar, Școala Gimnazială George Călinescu, Iași   Articolul își propune să supună atenției un aspect de o deosebită...

Read more

Corpul National de Experti in Management…

Corpul National de Experti in Management Educational 2013 seria 1   In Monitorul Oficial nr. 98 din 19 februarie 2013 a fost publicat Ordinul nr. 3179/2013 al ministrului Educatiei Nationale privind aprobarea...

Read more

Evaluarea Nationala 2014 la clasele a II…

Evaluarea Nationala 2014 la clasele a II-a, a IV-a si a VI-a - modele de test Au aparut postate pe site-ul Ministerului Educatiei Nationale modelele de test pentru Evaluarea Nationala...

Read more

Elemente de management institutional din…

ELEMENTE DE MANAGEMENT INSTITUȚIONAL DIN PERSPECTIVA DEZVOLTĂRII DURABILE Prof. Isabela Curaleț, Școala Gimnazială „Simion Florea Marian” Ilișești, jud. Suceava Rezumat: Societatea Cunoașterii generează transformări și implică alinieri la nivelul...

Read more

Art_Game - Embedded Class of English

 GAME - EMBEDDED CLASSES OF ENGLISH AS A FOREIGN LANGUAGE   Prof. Simona Pisoi Colegiu Naţional Carol I, Craiova      In the last few years, there has been an emphasis on the development of...

Read more

Memorii Adolescenta lui Mircea Eliade it…

MEMORII Adolescenţa lui Mircea Eliade – itinerariu spiritual   Dragomir Marian, Colegiul Tehnic “Elie Radu” Ploieşti     Characterized as "an exciting Bildungsroman, the only of its kind in our language" by Serban Cioculescu, the autobiographical...

Read more

Onomastica auxiliar pretios pentru recon…

ONOMASTICA – AUXILIAR PREŢIOS PENTRU RECONSTITUIREA TRECUTULUI   Ileana Faur, profesor Limba şi Literatura română Liceul Tehnologic Transporturi Auto, Timişoara   Studiul îşi propune să descifreze mesajul istoriei ţinutului „zona Făgetului”, zonă păstrătoare a unor...

Read more

Inscrierea in invatamantul primar 2013

Înscrierea în învăţământul primar 2013   A fost publicat în Monitorul Oficial nr. 162/2013 Ordinul MEN nr. 3434/2013 privind aprobarea calendarului şi a Metodologiei de înscriere a copiilor în învăţământul primar pentru...

Read more