Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

Consideratii istorice despre alimentatie

CONSIDERAȚII ISTORICE DESPRE ALIMENTAȚIE Prof. Daniela Surlaru Colegiul Agricol ” Dr. C. Angelescu “ Buzău Studiul alimentaţiei umane a intrat târziu în domeniul preocupărilor ştiinţifice, deşi încă...

Read more

Inscrieri Mirunette Language Competition

Inscrieri Mirunette Language Competition

Ultimele zile de inscrieri la Mirunette Language Competition! Castiga o tabara internationala de 2 saptamani in UK! Esti pasionat de cultura britanica? Visul tau este sa...

Read more

Continutul dosarului comisiei metodice s…

Conţinutul dosarului comisiei metodice sau ariei curriculare     I. Componenta organizatorică - structura noului an şcolar; - încadrări; - componenţa catedrei (nume, grade didactice, vechime); - orarul membrilor catedrei.   II. Componenta managerială - raport de activitate pe anul...

Read more

GHID PRACTIC - continuare

Lazar Mihaiela   GHID PRACTIC AL AUTOFORMARII MANAGERIALE A PROFESORULUI (continuare)     5. Managementul comunicarii § Retineti ca deprinderile de comunicare eficienta se dobandesc si se perfectioneaza continuu § Inainte de a comunica un mesaj, anticipati...

Read more

Organizarea si desfasurarea admiterii in…

Organizarea si desfasurarea admiterii in invatamantul liceal de stat 2013 Vezi Ordinul nr. 5608/31.08.2012 privind organizarea si desfasurarea admiterii in invatamantul liceal de stat pentru anul scolar 2013-2014. Publicat in Monitorul Oficial,...

Read more

STUDIU DE SPECIALITATE: CUNOASTEREA COP…

STUDIU DE SPECIALITATE: CUNOAŞTEREA COPILULUI PRIN DESEN   Institutor Onel Maria-Antoaneta Liceul Teoretic „Vasile Alecsandri”, Sãbãoani, Neamt   Limbajul plastic are misiunea de a echilibra si armoniza relatiile copilului cu natura, cu ceilalti, cu sine....

Read more

Fisa de asistenta la ora de dirigentie c…

FIŞA DE ASISTENŢĂ LA ORE   DIRIGENŢIE – CONSILIERE ŞI ORIENTARE     I. DATE GENERALE:   Data   Clasa   Ora   Numele şi prenumele cadrului didactic (diriginte)   Specialitatea   Vechimea în învăţământ   Gradul didactic   Tema   Participanţi (elevi) Nr.total……..elevi,  din care prezenţi….. elevi Alţi participanţi   Observator(director, responsabil comisia...

Read more

Insuccesul scolar

INSUCCESUL ŞCOLAR   Profesor Teodorescu Lãcrãmioara Liceul Teoretic D. Zamfirescu Odobeşti, Jud.Vrancea   Motto: “Voinţa, iniţiativa, perseverenţa, rãbdarea  sunt elemente care garanteazã succesul.”               Insuccesul  şcolar reprezintă ansamblul pierderilor şcolare ale căror efecte se repercutează negativ asupra integrării...

Read more