Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768

Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Jocurile didactice la copiii de varsta s…

JOCURILE DIDACTICE LA COPIII DE VÂRSTĂ ȘCOLARĂ MICĂ Profesor înv. primar Vaida Ioana Liceul Tehnologic nr 1 Gâlgău ...

Read more

Conceptul de management educational

CONCEPTUL DE MANAGEMENT EDUCAȚIONAL Prof. înv. primar Iliescu George-Lucian Şcoala Gimnazială Nr. 1 Corbeni-Structura Oeştii-Pământeni „Managementul educațional este știința și arta de a pregăti resursele...

Read more

Implementarea unui program personalizat …

IMPLEMENTAREA UNUI PROGRAM PERSONALIZAT DE RECUPERARE A RĂMÂNERII ÎN URMĂ LA ÎNVĂȚĂTURĂ   Prof. înv. preșcolar Ciolan Laura Elena G. P. P.  “Sfântul Nicolae” Câmpulung, Argeș   Rezumat Acest articol conține un studiu de caz al...

Read more

Jocurile dinamice si jocurile pregatitoa…

JOCURILE DINAMICE ŞI JOCURILE PREGĂTITOARE-MIJLOACE DE BAZĂ ÎN PROCESUL DE INIŢIERE ÎN JOCUL DE VOLEI   Profesor Drăgoiu Toma Liceul Hercules Băile Herculane   Voleiul este un joc sportiv care se bucură de o largă apreciere...

Read more

Clasa pregatitoare ramane in invatamantu…

Clasa pregatitoare ramane in invatamantul obligatoriu si poate fi in scoala sau in gradinita   Vezi acordul asupra pozitiei comune a Ministerului Educatiei Nationale, a federatiilor sindicale si a Federatiei nationale a...

Read more

GENERAL CONSIDERATIONS ON IRIS MURDOCH_T…

GENERAL CONSIDERATIONS ON IRIS MURDOCH’S THE BLACK PRINCE   Prof.drd. Alina-Marilena Titirisca Liceul Teoretic “Al. I. Cuza”, Alexandria    Abstract Murdoch regards her works in terms of their implications for the novelist’s essential task, which is...

Read more

Ce rol au cartile in viata omului

CE ROL AU CARTILE IN VIATA OMULUI?                                                    Prof. Marin Georgiana Cocuta                                                           G.P.N Nr. 1 “Pinochio” Buzau   Cuvinte cheie: carte, viata, om, arta, necesar.   REZUMAT   “Ce rol au cartile in viata omului?”   Cartea este in...

Read more

Calendarul olimpiadelor scolare pentru a…

CALENDARUL OLIMPIADELOR  ŞCOLARE PENTRU ANUL ŞCOLAR 2011-2012   Afla care este calendarul olimpiadelor scolare pentru anul scolar 2011-2012, pe domenii/discipline de studiu, datele de desfasurare pentru etapa pe scoala, etapa locala,...

Read more