Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

Studiu privind folosirea metodelor alter…

STUDIUL PRIVIND FOLOSIREA METODELOR ALTERNATIVE DE ÎNVĂŢARE                                                                            Prof. Pantin Delia Colegiul Tehnic Energetic „Regele Ferdinand I ” Timişoara              Studiul se referă la modul cum sunt folosite metodele alternative de învăţare, respectiv...

Read more

Travailler la production ecrite modele d…

FLE: TRAVAILLER LA PRODUCTION ÉCRITE MODÈLE D’ENSEIGNEMENT – APPRENTISSAGE DE LA STRATÉGIE EN 4 ÉTAPES   Prof. MANEA Ruxandra-Magdalena Colegiul Naţional « Dr. Ioan Meşotă » Braşov   Rezumat: Acest articol propune înregistrarea mai întâi a uni...

Read more

Evaluarea Nationala 2014 Limba si litera…

Evaluarea Nationala 2013 Limba si literatura romana subiect si barem   Vezi subiectul si baremul de evaluare si de notare / corectare de la prima proba de Evaluarea Nationala pentru clasa a VIII-a pentru anul...

Read more

Les etapes de la comprehension orale

LES ETAPES DE LA COMPRÉHENSION ORALE   Ilie MINESCU Universitatea de Vest TIMIŞOARA     La pré-écoute Lors d’une activité de compréhension orale, les élèves comprennent en général: les mots qu'ils connaissent déjà; les mots transparents ; les mots dont...

Read more

Psalmul manifestare poetica expresionist…

PSALMUL – MANIFESTARE POETICĂ EXPRESIONISTĂ ÎN OPERELE LUI TUDOR ARGHEZI ŞI LUCIAN BLAGA prof. Elena HENDRE, Colegiul Tehnic ,,Aurel Vlaicu”, Baia Mare, Maramureş În lirica modernă psalmul este...

Read more

Formele generale ale educatiei

FORMELE GENERALE ALE EDUCAŢIEI   Educator Stan Luminiţa-Simona  Grădiniţa cu program normal Bălăbăneşti, Galaţi   Formele generale ale educaţiei reprezintă ansamblul acţiunilor şi al influenţelor pedagogice desfăşurate, succesiv sau simultan, în cadrul activităţii de formare-dezvoltare...

Read more

Organizarea si desfasurarea activitatilo…

METODOLOGIA ORGANIZĂRII ŞI DESFĂŞURĂRII ACTIVITĂŢILOR DE EDUCAŢIE FIZICĂ ŞI SPORT ÎN ÎNVĂŢĂMÂNTUL PREUNIVERSITAR       CAPITOLUL IV   ORGANIZAREA ŞI DESFĂŞURAREA ACTIVITĂŢII DE SELECŢIE ŞI INIŢIERE A ELEVILOR CU APTITUDINI PENTRU PRACTICAREA SPORTULUI DE PERFORMANŢĂ ÎN...

Read more

EDUCATIA INCLUZIVA

EDUCAtIA INCLUZIVÃ: RESPECT, SOLIDARITATE, INTEGRARE   Ene Iuliana, profesor psiholog scolar Şcoala cu clasele I-VIII „I. L. Caragiale” - Medgidia     Motto: “Şcolile inclusive trebuie sã recunoascã si sã rãspundã diferitelor nevoi ale elevilor,...

Read more