Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

Fiinta umana intre coordonate ale timpul…

FIINŢA UMANĂ ÎNTRE COORDONATE ALE TIMPULUI Prof. Cristina Lorincz Colegiul Tehnic Iosif Şilimon, Braşov Timpul, o necunoscută „concretă”a existenţei noastre, este una din marile probleme existenţiale ale omului. Fiinţa umană,...

Read more

Studiul evolutiei procesoarelor

STUDIUL EVOLUŢIEI PROCESOARELOR   Prof. Farkas Ana Maria Colegiul Tehnic de Transporturi Braşov   1. Primele procesoare Apariţia procesoarelor desktop începe în 1993, odatã cu apariţia primului Pentium. Primul model disponibil rula la o frecvenţă de...

Read more

Familia factor stimulativ al potentialul…

FAMILIA - FACTOR STIMULATIV AL POTENŢIALULUI CREATIV AL COPILULUI   Cojocaru Anişoara, profesor în învăţământul primar Colegiul Naţional ,,Roman – Vodă”, Roman   Rezumat Din experienţa mea de peste treizeci de ani la catedră, pot spune...

Read more

Johannes Brahms

JOHANNES BRAHMS (1833 – 1897) Profesor Lazar Mihaiela Liceul de Artã „Ioan Sima” Zalãu Johannes Brahms este muzicianul german care, prin specificul artei sale, uneste cele douã mari...

Read more

Metodologie privind recunoasterea si ech…

Ordin nr. 5484/2011 pentru aprobarea Metodologiei privind recunoasterea si echivalarea competentelor profesionale dobandite formal, nonformal sau informal de catre cadrele didactice care ocupa functii de educatori/educatoare, institutori/institutoare, invatatori/invatatoare, maistru-instructor, antrenor,...

Read more

Calendarul olimpiadelor si concursurilor…

Calendarul olimpiadelor si concursurilor scolare internationale 2015   Vezi Calendarul olimpiadelor si concursurilor scolare internationale desfasurate in Romania si in strainatate pentru anul scolar 2014-2015, respectiv: activitatea, tara/localitatea si perioada.

Read more

Modalitati de dezvoltare a gandirii crit…

MODALITĂŢI DE DEZVOLTARE A ,, GÂNDIRII CRITICE ” LA ELEVI   Institutor: Herczeg Monica Şcoala cu clasele I-VIII Dudeştii Noi                  Gândirea critică este un produs, un punct la care ajunge gândirea noastră în...

Read more

inscrierea candidatilor si disciplinele …

   CAPITOLUL II  Inscrierea candidatilor si disciplinele de concurs      Art. 3. -    (1) Cererile de inscriere la concursul pentru ocuparea posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate in unitatile de invatamant particular din invatamantul preuniversitar, potrivit...

Read more