Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

Educatie si vulnerabilitate sociala

EDUCAŢIE ŞI VULNERABILITATE SOCIALĂ   Prof. Răzvan Diaconu-Popovici   Abstract Înţelegerea proceselor educaţionale din societatea românească contemporană este o necesitate în condiţiile producerii unor fenomene sociale de vulnerabilizare şi marginalizare a tinerilor absolvenţi care se...

Read more

Ordin organizarea si desfasurarea probel…

Ordin privind organizarea si desfasurarea probelor specifice sustinute de elevii sectiilor bilingve francofone in vederea obtinerii mentiunii speciale "sectie bilingva francofona" pe diploma de bacalaureat   Afla Ordinul 5720 din 10 septembrie...

Read more

Integrarea copiilor cu cerinte speciale …

INTEGRAREA COPIILOR CU CERINȚE SPECIALE EDUCATIVE ÎN ȘCOALA DE MASĂ Prof.Brătilă Cristina-Zonica C.S.E.I. ,,Elena Doamna, Focșani”, județul Vrancea Tendinţa crescândă de integrare şcolară în unităţile obişnuite...

Read more

Organizarea si desfasurarea admiterii in…

Organizarea si desfasurarea admiterii in invatamantul liceal de stat 2013 Vezi Ordinul nr. 5608/31.08.2012 privind organizarea si desfasurarea admiterii in invatamantul liceal de stat pentru anul scolar 2013-2014. Publicat in Monitorul Oficial,...

Read more

Educatia incluziva educatia pentru toti

EDUCAŢIA INCLUZIVĂ, EDUCAŢIA PENTRU TOŢI Înv. Marc Aurica Șc. Gimn. Cîmpeni jud. Alba Şcoala are datoria de a asigura şanse egale tuturor elevilor. A asigura şanse egale elevilor înseamnă a...

Read more

Inluziunea o realitatea pentru elevii cu…

INCLUZIUNEA - O REALITATE? ELEVII CU CES ŞI LECTURA Prof. Cristina Hanţ, Liceul Teoretic „Adam Muller Guttenbrunn”, Arad Rezumat: Lucrarea are...

Read more

Importanta orelor de educatie fizica in …

IMPORTANŢA ORELOR DE EDUCAŢIE FIZICĂ ÎN ŞCOALĂ Prof. Ed. fizică Lazăr Răzvan Şcoala Gimnazială “Anghel Saligny” Focşani, Vrancea Educaţia fizică din...

Read more

evanghelia mitul christic si literatura

EVANGHELIA, MITUL CHRISTIC ŞI LITERATURA     Prof. drd., Mihaela Opre Grupul Şcolar "Voievodul Gelu", Zalău     I. Istorie vs. mit şi poetica romanelor secolului XX I.1. Evangheliile: mit sau antimit?             Relaţia dintre istoria sfântă conţinută...

Read more