Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Revista cu ISSN

Formarea de competente prin lectiile de …

FORMAREA DE COMPETENŢE PRIN LECŢIILE DE ECONOMIE ŞI ECONOMIE APLICATĂ Profesor, Popescu Marcela Paula Liceul Tehnologic”Vasile Cocea”Moldoviţa Cuprins: 1.Competenţele ca finalităţi ale procesului de instruire....

Read more

Contracte la termen pe indici bursieri i…

CONTRACTE LA TERMEN PE INDICI BURSIERI ÎN ROMÂNIA   Cîrcotă Roxana - prof. ec. Liceul Tehnologic de Marină Galați   Rezumat Bursa de valori din România a fost reînfiinţată în anul 1995, în baza Deciziei nr....

Read more

Cuvinte dominante in limbajul poetic al …

CUVINTE DOMINANTE ÎN LIMBAJUL POETIC AL LUI VASILE VOICULESCU   Prof. Simona Crainic, Liceul De Arte Plastice, Timişoara   Lucrarea de faţă îşi propune un studiu statistic al vocabularului poetic al lui V.Voiculescu....

Read more

Study on expressing present and past rou…

STUDY ON EXPRESSING PRESENT AND PAST ROUTINE IN ENGLISH   Prof. Simona PISOI Colegiul Naţional Carol I, Craiova     SUMMARY English has no single verb expressing habitual aspect. Instead, habitual behaviour is indicated in various ways,...

Read more

Valentele educationale ale plastilinei

VALENŢELE EDUCAŢIONALE ALE PLASTILINEI                                                                  Educatoare: Portik Laura                                                               Grădiniţa P. P. Nr.1 Reghin   Rezumat             In activitatea didactică - cadrele didactice, dar şi acasă - părinţii utilizează în jocul lor cu...

Read more

Ecologie crestina

                                                ECOLOGIE CREŞTINĂ                                                prof. Ciprian Nazare Colegiul Tehnic „Traian”, Galaţi     Motto: “Căci ştim că toată făptura împreună suspină şi împreună are dureri până acum. Pentru că făptura aşteaptă cu nerăbdare descoperirea fiilor lui...

Read more

CLIL LESSON PLAN Proiect de activitate d…

CLIL LESSON PLAN   Date: 25th March 2011 Teacher: Ofelia Subject: Chemistry Topic: The Periodic Table Type of lesson: consolidation and revision Grade: 7th (age level: 12- 13) Aims:   Revising and consolidating the name and the symbol...

Read more

Disciplinele de bacalaureat pentru probe…

 BACALAUREAT 2011  DISCIPLINELE DE BACALAUREAT PENTRU PROBELE SCRISE:    FILIERA TEORETICA: Profil umanist: Ø      limba si literatura romana Ø      limba materna (daca este cazul) Ø      istorie Ø      la alegere, geografie, logica si argumentare, psihologie, economie, sociologie...

Read more