Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768

Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Revista cu ISSN

Dezvoltarea deprinderilor motrice prin i…

DEZVOLTAREA DEPRINDERILOR MOTRICE PRIN INTERMEDIUL PARCURSURILOR APLICATIVE   Profesor Hanciş Adrian Şcoala Gimnazială „Gheorghe Bulgăr” Sanislău, jud. Satu Mare   În activităţile profesionale, dar mai ales în cele sportive, nivelul de dezvoltare al deprinderilor motrice...

Read more

Flori de primavara in legende -1

Legenda ghiocelului   A fost odata o razã de soare - era chiar fata cea mai micã si rãsfãtatã a astrului luminos. Şi tocmai pentru cã era cea mai micã si mai...

Read more

Datele examenelor pentru gradul II la UB…

Datele examenelor pentru gradul II la UBB Cluj   Vezi datele probelor pentru obţinerea gradului didactic II la Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca.

Read more

La pedagogie du projet

La pedagogie du projet

LA PEDAGOGIE DU PROJET   Prof. Octavian Horia MINDA Şcoala cu clasele I-VIII SINANDREI TIMIŞ                 1. La définition du projet Dans le monde contemporain, l’éducation est une nécessité, imposée par de rapides changements économiques....

Read more

Premise si cerinte in formarea personali…

PREMISE ŞI CERINŢE ÎN FORMAREA PERSONALITĂŢII ELEVULUI Prof. înv. primar OLAR CAMELIA-MARIA Şcoala Gimnazială „Dr. Aurel Vlad” Orăştie ...

Read more

Manuale scolare valabile an scolar 2012 …

Manuale scolare valabile pentru anul scolar 2012-2013   Vezi catalogul manualelor scolare valabile in invatamantul preuniversitar,  

Read more

EDUCATIA INCLUZIVA

EDUCAtIA INCLUZIVÃ: RESPECT, SOLIDARITATE, INTEGRARE   Ene Iuliana, profesor psiholog scolar Şcoala cu clasele I-VIII „I. L. Caragiale” - Medgidia     Motto: “Şcolile inclusive trebuie sã recunoascã si sã rãspundã diferitelor nevoi ale elevilor,...

Read more

Program Scoala Altfel activitati pentru …

ACTIVITATEA NR. 2 CERCETĂŞIA ESTE ALTFEL! ESTE UN MOD DE VIAŢĂ!   Program Şcoala Altfel -  Activităţi 1.       Grupa de vârstă: tineriiii din clasele IX-XII 2.       Ariile de dezvoltare: fizic, intelectual, caracter, emoţional, social, spiritual 3.      ...

Read more