Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Echilibrul psihosomatic in viata cotidia…

ECHILIBRUL PSIHOSOMATIC ÎN VIAŢA COTIDIANĂ                              Mureşan-Chira Gabriel             Prof. Educator CRDEII, Cluj-Napoca        Tentaţiile lumii contemporane pot destabiliza echilibrul psihosomatic al unui individ în aşa fel încât defazarea triadei corp-...

Read more

Mitul propriu zis si modelul mitic in le…

ITUL PROPRIU-ZIS ŞI MODELUL MITIC ÎN ,,LES TROIS GRACES” DE MIRCEA ELIADE Elena HENDRE - prof. Colegiul Tehnic ,,Aurel Vlaicu”, Baia Mare, Maramureş Rezumat: În opera ,,Les Trois Graces” Mircea...

Read more

Model de planificare anuala, calendarist…

PLANIFICARE ANUALA      Clasa ....  An şcolar .......              Clasa ...............  Curriculum aplicat: ...... (ex.: T.C. 3 ore + C.D. 1 ore)           Profesor .....................                Semestrul. Unitatea de învăţare (denumire) Nr. ore Săptămâna Observaţii                          

Read more

Atitudini si bullying

                                                   ATITUDINI ŞI BULLYING                                                                                                                Mureşan - Chira Gabriel   Prof. educator CRDEII, Cluj-Napoca     Problematica bullying-ului se concentrează în speţă pe problematica din mediile şcolare neexcluzând şi alte medii cum sunt cele...

Read more

Biologie si matemetica notiuni de interd…

BIOLOGIE ȘI MATEMETICĂ - NOȚIUNI DE INTERDISCIPLINARITATE prof.Arjoca Mihaela Maria Colegiul Tehnic “Ion Mincu” Timișoara Rezumat: Viitorul va aduce tehnologii și inovații performante, inspirate din natură. Cuvinte cheie: biologie, tehnică,...

Read more

Rolul dirigintelui in activitatea educat…

ROLUL DIRIGINTELUI ÎN ACTIVITATEA EDUCATIVĂ profesor Mirela POPOV Școala Gimnazială Ceamurlia de Jos, județul Tulcea (Rolul dirigintelui este acela de a atinge succesul împreună cu clasa de elevi, conform unui plan...

Read more

Jocurile video dezvolta memoria activa a…

JOCURILE VIDEO DEZVOLTĂ MEMORIA ACTIVĂ A COPIILOR Prof. Alina Elena Turcescu Colegiul Național ”Ion C. Brătianu” Pitești Studii științifice și experiemente realizate în cadrul...

Read more

Seminar limba engleza

Seminar limba engleza Profesorii de limba engleza din Romania pot fi instruiti gratuit de catre profesori britanici, in cadrul unui seminar organizat de Mirunette International Education. Mirunette International Education organizeaza seminarul "Fresh...

Read more