Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Directioneaza 2 % din impozit pentru Aso…

Direcţionează 2% din impozit pentru Asociaţia Profesorilor din România Direcţionează 2% din impozitul tău pe venit pentru susţinerea acţiunilor şi programelor coordonate de Asociaţia Profesorilor din România! Această donaţie nu costă...

Read more

Programul Scoala altfel calendarul de or…

Programul “Scoala Altfel”   - calendarul de organizare -     Nr. crt. Perioada Atributii  1 13-24 Februarie 2012 Fiecare unitate de invatamant afiseaza propunerile de activitati pentru saptamana "Scoala Altfel".  Simultan, fiecare diriginte si invatator va dezbate propunerile de activitati...

Read more

Educatia in context intercultural

EDUCAŢIA ÎNTR-UN CONTEXT INTERCULTURAL   Instit. Elena Grigore, C.N. “Fraţii Buzeşti”, Craiova, Dolj   REZUMAT Educaţia se referă la includerea în structurile învăţământului a copiilor, pentru a oferi un climat favorabil dezvoltării armonioase şi cât mai...

Read more

Planificare model pentru educatie plasti…

Planificare model pentru educatie plastica invatamant gimnazial   Incepand cu anul scolar 2011-2012, Ministerul Educatiei, Cercetarii, Tineretului si Sportului a oferit pentru prima data tuturor cadrelor didactice modele de planificari calendaristice. Iata...

Read more

Personalitatea in contextul cunoasterii …

PERSONALITATEA ÎN CONTEXTUL CUNOAŞTERII ELEVULUI – O PERMANENTĂ PROVOCARE Profesor Petruţ Steliana Grup Şcolar „Mihai Eminescu” Jimbolia Definiţia şi caracteristicile personalităţii A ne cunoaşte elevii este...

Read more

Degradarea terenurilor din arealul satul…

DEGRADAREA TERENURILOR DIN AREALUL SATULUI MUCHEA, COMUNA SILIŞTEA, JUDEŢUL BRĂILA   prof. Vasile Octavian COSMESCU Liceul de Arta „Haricleea Darcle”, Braila                                                        Generalităţi În cuprinsul lucrării am prezentat principalii agenţi şi procese fizicogeografice, naturale şi antropice...

Read more

DESPRE SARBATOAREA MUZICII

DESPRE SÃRBÃTOAREA MUZICII   Profesor Maria Dinu C.N.E. “Gh.Chitu”, Craiova     Începând din anul 1982, în Franta, a fost organizatã, în prima zi a verii, 21 iunie, Sãrbãtoarea Muzicii. Astãzi, Sãrbãtoarea Muzicii este prezentã...

Read more

Din datinile obiceiurile si traditiilor …

DIN DATINILE, OBICEIURILE SI TRADITIILE RUSILOR LIPOVENI DIN MUNICIPIUL BRAILA   Prof. dr. Ion Andronache, Liceul Tehnologic „Constantin Brancoveanu”, Braila   Braila a fost si este un oras cosmopolit, unde toleranta fata de alte...

Read more