Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Negrul si palidul in poezia bacoviana

NEGRUL ŞI PALIDUL ÎN POEZIA BACOVIANĂ   Ştefan Lucian MUREŞANU, PhD   Motto: "În poezie m-a obsedat întotdeauna un subiect de culoare. Pictura cuvintelor sau audiţie colorată.[...] Îmi place mult vioara. Melodiile au avut...

Read more

Invatamantul profesional din Romania un …

ÎNVĂŢĂMÂNTUL PROFESIONAL DIN ROMÂNIA – UN NOU ÎNCEPUT   Şeptelean Florina Elvira, doctorand Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca   „Meseria este brăţară de aur”, spunea un vechi proverb românesc, iar în zilele noastre instruirea şi transmiterea...

Read more

Saptamana educatiei globale 2012 Mobilit…

Saptamana educatiei globale 2012 Mobilitate pentru sustenabilitate   A 14-a editie a Saptamanii Educatiei Globale, program facilitat de Centrul Nord-Sud al Consiliului Europei, se va desfasura in perioada 10-18 noiembrie 2012. Tema de acest an pentru Saptamana Educatiei Globale este “Mobilitate pentru...

Read more

Structura anului scolar 2011 2012

Structura anului scolar 2011- 2012 Ordinul nr. 4292/2011 privind structura anului scolar 2011-2012 Publicat in Monitorul Oficial, Partea I nr. 416 din 14 iunie 2011MINISTERUL EDUCATIEI, CERCETARII, TINERETULUI SI SPORTULUI In...

Read more

Tratarea diferentiata a elevilor care pr…

TRATAREA DIFERENȚIATĂ A ELEVILOR CARE PREZINTĂ DIFICULTĂȚI DE ÎNVĂȚARE prof. înv. primar Doina Dumitru   Şcoala Gimnazială Fitioneşti Cunoaşterea și abordarea diferențiată a elevilor reprezintă un mijloc...

Read more

Nevoia de raportare la model a personali…

NEVOIA DE RAPORTARE LA MODEL A PERSONALITĂȚII ÎN FORMARE     Grădinița ,,Ion Creangă”, Ploiești, Județul Prahova                                 Relaționarea cu ceilalți, propria imagine de sine, atitudinile, aspirațiile, statusul social al omului de la...

Read more

Formular de aplicatie proiecte cuprinse …

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului și Sportului FORMULAR DE APLICAŢIE pentru proiectele ce vor fi cuprinse în Calendarul Activităţilor Educative 2011 Proiectele se transmit prin poștă/curier de ISJ/ISMB, într-un singur pachet, până la...

Read more

Un alt mod de abordare a fizicii

UN ALT MOD DE ABORDARE A FIZICII prof. Mihaela Butoi Colegiul Tehnic “Petru Poni”, Onești La nivelul fiecărei şcoli a apărut motivaţia implementării noilor tehnologii...

Read more