Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Preocupari literare premergatoare Cercul…

PREOCUPÃRI LITERARE PREMERGÃTOARE CERCULUI LITERAR DE LA SIBIU   Nevodenszki Sorina, institutor Şcoala cu clasele I – VIII Sânandrei, jud. Timis     Victor Iancu, renumit estetician al perioadei interbelice, se aflã printre cei mai...

Read more

Spring Day in Europe

VALENŢE EDUCATIVE ALE PROGRAMULUI ,,SPRING DAY IN EUROPE”   Prof. Oltea Preluca Şcoala cu clasele I-VIII “Ion Creangã” Suceava   O zi de primãvarã pare, la prima vedere, o zi ca oricare, una din zilele...

Read more

Analiza apei materie prima pentru indust…

Analiza apei materie prima pentru industria berii

ANALIZA APEI – MATERIE PRIMĂ PENTRU INDUSTRIA BERII Prof.ing. Simion Dobrica Liceul Tehnologic ,,Costin Nenițescu” Buzău ...

Read more

Educatia fizica si sportul

EDUCATIA FIZICA SI SPORTUL   Sensul pedagogic al notiunii de educatie fizica Educatia fizica este o componenta indispensabila a educatiei, care urmareste dezvoltarea armonioasa si normala a organismului, intarirea sanatatii si cultivarea unor...

Read more

Arta Baroca Muzicala

ARTA BAROCÃ MUZICALÃ – studiu de specialitate –   Prof. Gloria Ghidiceanu Liceul Teoretic “Henry Coand[” – Craiova     Termenul "baroc" s-a folosit cu sens peiorativ, dorind sã se arate dispretul fatã...

Read more

Ipostazele elevului in selectia comparar…

IPOSTAZELE ELEVULUI ÎN SELECȚIA, COMPARAREA ȘI ANALIZA SURSELOR BIBLIOGRAFICE Profesor educator Mureșan-Chira Gabriel Școala Gimnazială Specială Centrul de Resurse și Documentare pentru Educația Incluzivă/...

Read more

Les articulateurs du discours

LES ARTICULATEURS DU DISCOURS   Lector univ. Ilie Minescu Universitatea de Vest din Timisoara     La langue française est pleine de mots et de locutions qui, utilisés adéquatement, permettent d’exprimer les idées...

Read more

Perturbari in comunicarea didactica

PERTURBĂRI ÎN COMUNICAREA DIDACTICĂ Prof.Pavel-Surlaru Adriana-Cristina Colegiul Economic Buzău Comunicarea didactică, ca şi comunicarea generală interumană, este supusă unor perturbări numeroase şi...

Read more