Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Politici europene privind invatarea pe t…

POLITICI EUROPENE PRIVIND ÎNVĂȚAREA PE TOT PARCURSUL VIEȚII Prof. Alexandra Pepelea Liceul Teoretic „Vasile Alecsandri”, Iaşi În domeniul major al educației, Uniunea Europeană a înțeles că succesul înseamnă asumarea responsabilității...

Read more

Folosirea povestilor in predarea limbii …

FOLOSIREA POVEȘTILOR ÎN PREDAREA LIMBII ENGLEZE Profesor: Buruiană Mihaela                                       Liceul Tehnologic “Tudor Vladimirescu”, com. Tudor Vladimirescu, jud. Galați             Cuvinte cheie: poveşti în limba engleză, ciclul primar De ce poveşti? Valoarea educațională...

Read more

Dimensiunea evolutie psihice in starile …

DIMENSIUNEA EVOLUȚIEI PSIHICE ÎN STĂRILE EXTREME DE DEZVOLTARE P.Î.P. Ionașc Rodica Școala Gimnazială „ General Grigore Baștan”, Buzău Dezvoltarea psihică se desfășoară în mod gradual pe tot parcursul copilăriei, în...

Read more

STRATEGII ACTIV-PARTICIPATIVE IN PREDARE…

STRATEGII ACTIV-PARTICIPATIVE ÎN PREDARE-ÎNVÃtARE Institutor Anton Simona Marinela Şcoala cu clasele I-VIII nr.2 Vorniceni, Judetul Botosani - rezumat - Procesul didactic al studierii limbii...

Read more

Legea Educatiei Nationale

Legea Educatiei Nationale, forma finala asumata, aprobata si promulgata de presedintele Romaniei in 4 ianuarie 2011

Read more

Eseul scolar între intentie si realizare

ESEUL ŞCOLAR ÎNTRE INTENŢIE ŞI REALIZARE   Prof. Cristina Lorincz Colegiul Tehnic Iosif Şilimon, Braşov     Articolul de faţă are în centru problematica eseului şi după un scurt istoric aduce în prim plan confuziile care...

Read more

L approche communicative Quelques defini…

L’APPROCHE COMMUNICATIVE. QUELQUES DEFINITIONS   Ilie MINESCU Universitatea de Vest din Timişoara   Le français est une langue vivante; on ne l'enseignera donc pas comme une langue morte. Enseigner le français consiste à apprendre aux...

Read more

Tipare cosmogonice romanesti

TIPARE COSMOGONICE ROMÂNEŞTI   Prof. Iorga Violeta Teodora Şcoala 16 ,,Nicolae Bãlcescu”, Galati     Cosmogonia reprezintã un punct de referintã pentru mitologia tuturor popoarelor. ªi pentru români, aceasta presupune trei etape de...

Read more